A derivada da função deslocamento é a função velocidaće. A derivada da função velocidade é a função aceleração. Encontre as funções velocidade e aceleração para f(x) = sen(N x) * e^(k x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa o deslocamento de um objeto, que é . O objetivo aqui é encontrar duas coisas:
  1. Função Velocidade: que é a derivada da função deslocamento.
  2. Função Aceleração: que é a derivada da função velocidade (ou seja, a segunda derivada da função deslocamento).
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a derivada das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a Função Velocidade, que é a derivada de .
A função é um produto de duas funções: e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.
A Regra do Produto é dada por:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e individualmente.
  • Derivada de :
Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é , e tem derivada .
  • Derivada de :
A derivada de é vezes .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar e escrever:
Essa é a Função Velocidade.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Função Aceleração, que é a derivada da Função Velocidade .
Temos:
Aqui, também precisamos usar a Regra do Produto, pois é um produto de e .

Passo 6

Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Então:

Passo 7

Aplicando novamente a Regra do Produto para :
Substituindo as derivadas:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Essa é a Função Aceleração.

Resposta

A função velocidade é:
E a função aceleração é:

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