Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(g) 4 x^2+9 y^2-8 x-36 y+4=0.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a cônica
4x^2+9y^2-8x-36y+4=0
na forma padrão, identificar do que se trata (classificar) e esboçar o gráfico. Vamos usar completamento de quadrados e a forma padrão de elipse
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e fatoramos os coeficientes quadráticos:
4(x^2-2x)+9(y^2-4y)+4=0
Para completar o quadrado em x^2-2x, somamos e subtraímos 1:
x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1,
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4(x^2-2x)=4l[(x-1)^2-1r]=4(x-1)^2-4

Passo 3

Analogamente, em y^2-4y somamos e subtraímos 4:
y^2-4y+4-4=(y-2)^2-4,
então
9(y^2-4y)=9l[(y-2)^2-4r]=9(y-2)^2-36

Passo 4

Substituindo esses resultados na equação original:
4(x-1)^2-4+9(y-2)^2-36+4=0
4(x-1)^2+9(y-2)^2-36=0
4(x-1)^2+9(y-2)^2=36
Dividindo ambos os lados por 36:
(x-1)^29+(y-2)^24=1

Passo 5

Forma padrão obtida é
(x-1)^23^2+(y-2)^22^2=1,
que é elipse de centro (1,2). Como a=3>2=b, o eixo maior é horizontal.
Vértices (extremos do eixo maior): (1pm3,,2) ou seja (-2,2) e (4,2).
Co-vértices (extremos do eixo menor): (1,,2pm2) ou seja (1,0) e (1,4).
No esboço, marcamos o centro, os vértices e as retas auxiliares x=1 e y=2, e desenhamos a elipse alinhada aos eixos.

Resposta

Forma padrão:
(x-1)^29+(y-2)^24=1
Classificação: elipse de centro (1,2), semi-eixos a=3 (horizontal) e b=2 (vertical).
Vértices em (-2,2), (4,2); co-vértices em (1,0), (1,4).

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