Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(g)
.
(g)
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a cônica
na forma padrão, identificar do que se trata (classificar) e esboçar o gráfico. Vamos usar completamento de quadrados e a forma padrão de elipse
Passo 2
Agrupamos os termos em
e em
e fatoramos os coeficientes quadráticos:
Para completar o quadrado em
, somamos e subtraímos
:
logo
Passo 3
Analogamente, em
somamos e subtraímos
:
então
Passo 4
Substituindo esses resultados na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Forma padrão obtida é
que é elipse de centro
. Como
, o eixo maior é horizontal.
Vértices (extremos do eixo maior): ou seja
e
.
Co-vértices (extremos do eixo menor): ou seja
e
.
No esboço, marcamos o centro, os vértices e as retas auxiliares e
, e desenhamos a elipse alinhada aos eixos.
Vértices (extremos do eixo maior):
Co-vértices (extremos do eixo menor):
No esboço, marcamos o centro, os vértices e as retas auxiliares
Resposta
Forma padrão:
Classificação: elipse de centro
, semi-eixos
(horizontal) e
(vertical).
Vértices em ,
; co-vértices em
,
.
Vértices em