Ex. 1. Usando a definição de limite, mostrar que:
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar que
Conteúdo: definição de limite em
(epsilão–delta). Vamos usar a versão que diz: dado
, existe
tal que, sempre que
então
Passo 2
Note que
e^-1/(x^2+y^2)>0 , logo
Defina
r=raizx^2+y^2 . O problema passa a ser garantir
sempre que
0<r<de<a .
Passo 3
Caso trivial
varepsilon>=1 : basta escolher
de<a=1 . De fato, se
0<r<1 então
e a condição de limite está satisfeita.
Passo 4
Agora considere
0<varepsilon<1 . Nesse caso
ln(varepsilon)<0 e
-ln(varepsilon)>0 . A desigualdade
é equivalente a
Passo 5
Escolha de
de<a :
sevarepsilon>=1 , tome
de<a=1 ;
se0<varepsilon<1 , tome
se
se
Em ambos os casos, sempre que
0<raizx^2+y^2<de<a obtemos
Pela definição de limite em
R^2 , isso mostra que