Ex. 1. Usando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) e^-1x^2+y^2=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar que
lim(x,y)to(0,0) e^-1x^2+y^2=0
Conteúdo: definição de limite em R^2 (epsilão–delta). Vamos usar a versão que diz: dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que
0<raizx^2+y^2<de<a,
então
l|e^-1x^2+y^2-0r|<varepsilon

Passo 2

Note que e^-1/(x^2+y^2)>0, logo
l|e^-1x^2+y^2-0r| = e^-1x^2+y^2
Defina r=raizx^2+y^2. O problema passa a ser garantir
e^-1r^2<varepsilon
sempre que 0<r<de<a.

Passo 3

Caso trivial varepsilon>=1: basta escolher de<a=1. De fato, se 0<r<1 então
e^-1r^2<= e^-1<1<=varepsilon,
e a condição de limite está satisfeita.

Passo 4

Agora considere 0<varepsilon<1. Nesse caso ln(varepsilon)<0 e -ln(varepsilon)>0. A desigualdade
e^-1r^2<varepsilon
é equivalente a
-1r^2<ln(varepsilon) Long<=ftrightarrow 1r^2>-ln(varepsilon) Long<=ftrightarrow r^2<1-ln(varepsilon) Long<=ftrightarrow r<1raiz-ln(varepsilon)

Passo 5

Escolha de de<a:
se varepsilon>=1, tome de<a=1;
se 0<varepsilon<1, tome
de<a = 1raiz-ln(varepsilon)
Em ambos os casos, sempre que 0<raizx^2+y^2<de<a obtemos
e^-1x^2+y^2<varepsilon
Pela definição de limite em R^2, isso mostra que
lim(x,y)to(0,0) e^-1x^2+y^2=0

Resposta

0

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