Prove as desigualdades abaixo:
sen(x)<x para todo x>0;

Passo 1

O enunciado pede para provar que sin(x)<x para todo x>0. O conteúdo envolve desigualdade e propriedades trigonométricas, e vamos usar um argumento geométrico de comparação de áreas num círculo de raio 1.

Passo 2

Seja 0<x<pi. Considere o círculo unitário com centro O e os pontos
A=(1,0), B=(cos(x),sin(x))
O setor circular AOB tem área
1^2cdot x2=x2,
pois a área de um setor de ângulo x num círculo de raio 1 é tfracr^2x2. Já o triângulo OAB tem área
12,|OA|cdot|OB|sin(ang<= AOB) =12cdot1cdot1cdotsin(x) =sin(x)2
Como o triângulo está contido no setor, sua área é menor, ou seja,
sin(x)2<x2
Multiplicando ambos os lados por 2, conclui-se
sin(x)<x

Passo 3

Para x>=pi, temos sin(x)<=1 e pi<= x. Logo
sin(x)<=1<pi<= x Longrightarrow sin(x)<x
Assim, em todos os casos x>0, vale sin(x)<x.

Resposta

Para todo x>0, sin(x)<x.

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