Prove as desigualdades abaixo:
para todo
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que
para todo
. O conteúdo envolve desigualdade e propriedades trigonométricas, e vamos usar um argumento geométrico de comparação de áreas num círculo de raio 1.
Passo 2
Seja
. Considere o círculo unitário com centro
e os pontos
O setor circular
tem área
pois a área de um setor de ângulo
num círculo de raio 1 é
. Já o triângulo
tem área
Como o triângulo está contido no setor, sua área é menor, ou seja,
Multiplicando ambos os lados por
, conclui-se
Passo 3
Para
, temos
e
. Logo
Assim, em todos os casos
, vale
.
Resposta
Para todo
,
.