(a) Um estudante entediado entra com o número 0,5 \mathrm{em} uma calculadora e calcula repetidamente o quadrado do número no visor. Tomando-se \mathrm{a}_{0}=0,5, encontre uma fórmula para o termo geral da sequência \left\{a_{-}\right\}de números que aparecem no visor.
(b) Tente isso com uma calculadora e faça uma conjectura sobre o limite da sequência \left(\mathrm{a}_{-}\right).
(c) Confirme a sua conjectura calculando o limite da sequência \left\{\mathrm{a}_{n}\right\}.
(d) Com quais outros valores de \mathrm{a}_{0} esse procedimento produz uma sequência convergente?

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_0 = 0{,}5,\qquad a_{n+1} = (a_n)^2.
O conteúdo é de recorrência em sequências e cálculo de limites. Vamos: (a) achar uma fórmula fechada para a_n; (b) conjecturar o limite via calculadora; (c) confirmar o limite analiticamente; (d) determinar para quais valores de a_0 a sequência converge.

Passo 2

Note que
a_1 = (a_0)^2,\quad a_2 = (a_1)^2 = \bigl((a_0)^2\bigr)^2 = (a_0)^{2^2},\quad a_3 = (a_2)^2 = (a_0)^{2^3},
e por indução
a_n = (a_0)^{2^n}.
Como a_0=0{,}5, obtemos
a_n = \bigl(0{,}5\bigr)^{2^n}.

Passo 3

Se você calcular a_1, a_2, a_3,\dots numa calculadora, verá valores cada vez menores (por ex. 0{,}25,\,0{,}0625,\,0{,}0039\dots). Daí a conjectura natural é
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 4

Para confirmar, note que 0<0{,}5<1. Se 0<r<1, então
\lim_{n\to\infty} r^{2^n} = 0
pois o expoente 2^n cresce sem limite e faz r^{2^n}\to0. Assim
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\bigl(0{,}5\bigr)^{2^n} = 0.

Passo 5

Para um valor geral a_0,
a_n = (a_0)^{2^n}.
  • Se \lvert a_0\rvert<1, então \lim_{n\to\infty}a_n=0.
  • Se \lvert a_0\rvert=1, então a_n=1 a partir de n=1 (pois (-1)^2=1), e a sequência converge para 1.
  • Se \lvert a_0\rvert>1, o módulo de a_n cresce sem limite, e a sequência diverge.
Logo, a sequência converge exatamente para \lvert a_0\rvert\le1.

Resposta

(a) a_n = \bigl(0{,}5\bigr)^{2^n}.
(b) Conjectura: \lim a_n = 0.
(c) Confirmado: \lim_{n\to\infty}a_n=0.
(d) Converge para todos os a_0 tais que \lvert a_0\rvert\le1.

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