(a) Um estudante entediado entra com o número
uma calculadora e calcula repetidamente o quadrado do número no visor. Tomando-se
, encontre uma fórmula para o termo geral da sequência
de números que aparecem no visor.
(b) Tente isso com uma calculadora e faça uma conjectura sobre o limite da sequência
.
(c) Confirme a sua conjectura calculando o limite da sequência
.
(d) Com quais outros valores de
esse procedimento produz uma sequência convergente?
(b) Tente isso com uma calculadora e faça uma conjectura sobre o limite da sequência
(c) Confirme a sua conjectura calculando o limite da sequência
(d) Com quais outros valores de
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O conteúdo é de recorrência em sequências e cálculo de limites. Vamos: (a) achar uma fórmula fechada para
; (b) conjecturar o limite via calculadora; (c) confirmar o limite analiticamente; (d) determinar para quais valores de
a sequência converge.
Passo 2
Note que
e por indução
Como
, obtemos
Passo 3
Se você calcular
numa calculadora, verá valores cada vez menores (por ex.
). Daí a conjectura natural é
Passo 4
Para confirmar, note que
. Se
, então
pois o expoente
cresce sem limite e faz
. Assim
Passo 5
Para um valor geral
,
- Se
, então . - Se
, então a partir de (pois ), e a sequência converge para . - Se
, o módulo de cresce sem limite, e a sequência diverge.
Logo, a sequência converge exatamente para
.
Resposta
(a)
(b) Conjectura:
(c) Confirmado:
(d) Converge para todos os tais que
.
(b) Conjectura:
(c) Confirmado:
(d) Converge para todos os