Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\right.
\left{
\right.
Passo 1
O problema de contorno é
com condições de Neumann
Conteúdo: Equação diferencial linear de segunda ordem com condições de contorno. Vamos estudar os casos
,
e
.
Passo 2
Caso
. Escrevemos
com
. A equação torna-se
solução geral
Então
Da condição
vem
. Logo
Em
,
implica
. Portanto só existe a solução trivial.
Passo 3
Caso
. A equação é
com solução
Da condição
segue
, logo
(constante), e isso já satisfaz
. Há, portanto, soluções não triviais constantes.
Passo 4
Caso
. Escrevemos
,
. A equação fica
solução geral
e
Em
,
. Assim
De
obtemos
para
precisamos
, ou seja
Portanto
gera soluções não triviais
.
Passo 5
Conclusão:
- Se
só a solução trivial. - Se
há família de soluções constantes. - Se
com há soluções .
Para quaisquer outrosnão há solução não trivial.
Resposta
Os valores de
que admitem solução não trivial são
com autofunções associadas
onde
é constante arbitrária. Para
ou
só existe a solução trivial.