Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\ y^{\prime}(0)=0, y^{\prime}(\pi)=0\end{array}
\right.

Passo 1

O problema de contorno é
y''+\lambda y=0,
com condições de Neumann
y'(0)=0,\quad y'(\pi)=0.
Conteúdo: Equação diferencial linear de segunda ordem com condições de contorno. Vamos estudar os casos \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0.

Passo 2

Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A equação torna-se
y''-\mu^2y=0,
solução geral
y(x)=A e^{\mu x}+B e^{-\mu x}.
Então
y'(x)=\mu A e^{\mu x}-\mu B e^{-\mu x}.
Da condição y'(0)=0 vem \mu(A-B)=0\Rightarrow A=B. Logo
y(x)=A\bigl(e^{\mu x}+e^{-\mu x}\bigr),\quad y'(x)=\mu A\bigl(e^{\mu x}-e^{-\mu x}\bigr).
Em x=\pi,
y'(\pi)=2\mu A\operatorname{sinh}(\mu\pi)=0
implica A=0. Portanto só existe a solução trivial.

Passo 3

Caso \lambda=0. A equação é
y''=0,
com solução
y(x)=C_1 x + C_2.
Da condição y'(0)=0 segue C_1=0, logo y(x)=C_2 (constante), e isso já satisfaz y'(\pi)=0. Há, portanto, soluções não triviais constantes.

Passo 4

Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda=\mu^2, \mu>0. A equação fica
y''+\mu^2y=0,
solução geral
y(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x),
e
y'(x)=-A\mu\sin(\mu x)+B\mu\cos(\mu x).
Em x=0, y'(0)=B\mu=0\Rightarrow B=0. Assim
y(x)=A\cos(\mu x).
De y'(\pi)=0 obtemos
y'(\pi)=-A\mu\sin(\mu\pi)=0,
para A\neq0 precisamos \sin(\mu\pi)=0, ou seja
\mu\pi=n\pi\quad\Rightarrow\quad\mu=n,\quad n\in\mathbb N.
Portanto \lambda=n^2 gera soluções não triviais
\;y_n(x)=A\cos(nx).

Passo 5

Conclusão:
  • Se \lambda<0 só a solução trivial.
  • Se \lambda=0 há família de soluções constantes.
  • Se \lambda=n^2 com n\in\mathbb N há soluções y(x)=A\cos(nx).
    Para quaisquer outros \lambda não há solução não trivial.

Resposta

Os valores de \lambda que admitem solução não trivial são
\lambda_n = n^2,\quad n=0,1,2,\dots,
com autofunções associadas
y_n(x)=A\cos(nx),
onde A\neq0 é constante arbitrária. Para \lambda<0 ou \lambda\neq n^2 só existe a solução trivial.

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