Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa(F). Justifique sua afirmação esboçando as ideias de uma demonstração ou dando um contra-exemplo.
( ) O gráfico da função
é uma circunferência.
( ) O gráfico da função
Passo 1
O enunciado quer saber se o gráfico da função y = x² + 1 é uma circunferência. O conteúdo aqui é geometria analítica de curvas de 2º grau; para resolver vamos precisar da definição de circunferência e de suas características em comparação com a parábola.
Passo 2
Uma circunferência de centro (h,k) e raio r tem equação canônica:
Note que para ser circunferência precisamos obrigatoriamente de termos x² e y² na mesma proporção e nenhum termo de produto xy.
Passo 3
A função dada pode ser escrita como:
que equivale a
Aqui não aparece termo y², nem é possível reorganizar para
pois faltaria o y².
Passo 4
Geométricamente, o gráfico de y = x² + 1 é uma parábola que se abre para cima e é ilimitada em x e em y, enquanto uma circunferência é uma curva fechada e limitada. Logo essa curva não pode ser uma circunferência.
Resposta
F