Encontre a equação do círculo osculador à curva plana dada por
no ponto
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Questão 4
Questão 4
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do círculo osculador à curva plana dada por $ y = e^{x} $ no ponto $ (0, 1) $.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente conceitos de derivadas e curvatura.
O que vamos precisar:
- Derivar a função para encontrar as derivadas primeira e segunda.
- Utilizar a fórmula da curvatura para determinar o raio de curvatura.
- Determinar o centro do círculo osculador utilizando a normal à curva.
- Formar a equação do círculo com o centro e o raio encontrados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função $ y = e^{x} $.
-
Derivada primeira ($ y’ $):Avaliando em $ x = 0 $:
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Derivada segunda ($ y’’ $):Avaliando em $ x = 0 $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o raio de curvatura $ R $ usando a seguinte fórmula:
Substituindo os valores obtidos:
Passo 4
Para encontrar o centro do círculo osculador, precisamos determinar a direção da normal à curva no ponto $ (0, 1) $.
A inclinação da normal ($ m_{n} $) é o negativo do inverso da derivada primeira:
Usando a inclinação da normal, podemos determinar o vetor normal. Sabendo que o raio de curvatura é $ R = 2\sqrt{2} $, o centro do círculo estará localizado a essa distância ao longo da direção da normal.
As coordenadas do centro $ (h, k) $ são dadas por:
Substituindo $ x_{0} = 0 $, $ y_{0} = 1 $, $ y’ = 1 $ e $ R = 2\sqrt{2} $:
Portanto, o centro do círculo osculador é $ (-2, 3) $.
Passo 5
Com o centro $ (-2, 3) $ e o raio $ 2\sqrt{2} $ determinados, podemos escrever a equação do círculo osculador usando a fórmula padrão de um círculo:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do círculo osculador à curva $ y = e^{x} $ no ponto $ (0, 1) $ é: