Encontre a equação do círculo osculador à curva plana dada por y=e^x no ponto (0,1).
Questão 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do círculo osculador à curva plana dada por $ y = e^{x} $ no ponto $ (0, 1) $.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente conceitos de derivadas e curvatura.
O que vamos precisar:
  • Derivar a função para encontrar as derivadas primeira e segunda.
  • Utilizar a fórmula da curvatura para determinar o raio de curvatura.
  • Determinar o centro do círculo osculador utilizando a normal à curva.
  • Formar a equação do círculo com o centro e o raio encontrados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função $ y = e^{x} $.
  • Derivada primeira ($ y’ $):
    y = e^x
    Avaliando em $ x = 0 $:
    y'
  • Derivada segunda ($ y’’ $):
    y' = dydx = e^x
    Avaliando em $ x = 0 $:
    x = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o raio de curvatura $ R $ usando a seguinte fórmula:
R
Substituindo os valores obtidos:
R = [1 + (y')^2]^32|y''|

Passo 4

Para encontrar o centro do círculo osculador, precisamos determinar a direção da normal à curva no ponto $ (0, 1) $.
A inclinação da normal ($ m_{n} $) é o negativo do inverso da derivada primeira:
(0, 1)
Usando a inclinação da normal, podemos determinar o vetor normal. Sabendo que o raio de curvatura é $ R = 2\sqrt{2} $, o centro do círculo estará localizado a essa distância ao longo da direção da normal.
As coordenadas do centro $ (h, k) $ são dadas por:
mn
mn = -1y' = -11 = -1
Substituindo $ x_{0} = 0 $, $ y_{0} = 1 $, $ y’ = 1 $ e $ R = 2\sqrt{2} $:
R = 2raiz2
(h, k)
Portanto, o centro do círculo osculador é $ (-2, 3) $.

Passo 5

Com o centro $ (-2, 3) $ e o raio $ 2\sqrt{2} $ determinados, podemos escrever a equação do círculo osculador usando a fórmula padrão de um círculo:
(-2, 3)
Substituindo os valores:
2raiz2
(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2

Resposta

A equação do círculo osculador à curva $ y = e^{x} $ no ponto $ (0, 1) $ é:
y = e^x

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