Em cada um dos itens abaixo, responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, esboce as idéias de uma demonstração e, se for falsa, dê um contra-exemplo.
( ) Se
e
, então
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se para todo real
e dados
vale que
. O tema é propriedades de desigualdades em
, mais especificamente a monotonicidade da multiplicação. Vamos analisar o sinal de
para ver quando a desigualdade se preserva ou se inverte.
Passo 2
Se
, multiplicar por
preserva a desigualdade, ou seja, de
segue
. Se
, então
, logo não temos
. Se
, a desigualdade se inverte e de
segue
. Portanto a afirmação não é verdadeira para todo
.
Passo 3
Um contra-exemplo simples: escolha
,
e
. Temos
, mas
[
1\cdot(-1)=-1 > -2 = 2\cdot(-1)
],
ou seja, falha. Como basta um caso para derrubar a afirmação geral, ela é falsa.
[
1\cdot(-1)=-1 > -2 = 2\cdot(-1)
],
ou seja,
Resposta
Falsa. Por exemplo, para
,
e
temos
mas
, logo
não se mantém.