Em cada um dos itens abaixo, responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, esboce as idéias de uma demonstração e, se for falsa, dê um contra-exemplo.
( ) Se z in R e x, então x z.

Passo 1

O enunciado pergunta se para todo real z e dados x vale que x z. O tema é propriedades de desigualdades em R, mais especificamente a monotonicidade da multiplicação. Vamos analisar o sinal de z para ver quando a desigualdade se preserva ou se inverte.

Passo 2

Se z>0, multiplicar por z preserva a desigualdade, ou seja, de x segue x z. Se z=0, então x z=0=y z, logo não temos x z. Se z<0, a desigualdade se inverte e de x segue x z>y z. Portanto a afirmação não é verdadeira para todo z.

Passo 3

Um contra-exemplo simples: escolha x=1, y=2 e z=-1. Temos x, mas
[
1\cdot(-1)=-1 > -2 = 2\cdot(-1)
],
ou seja, x z falha. Como basta um caso para derrubar a afirmação geral, ela é falsa.

Resposta

Falsa. Por exemplo, para x=1, y=2 e z=-1 temos 1<2 mas 1cdot(-1)=-1>-2=2cdot(-1), logo x z não se mantém.

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