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  • PROBLEMA 7
    (Bônus - 1 ponto) Considere uma esfera de raio unitário centrada na origem de um sistemas de coordenadas x y z. Seja C um pentágono regular inscrito na esfera e contido no plano x y. Determine a área da região contida na esfera cuja projeção com respeito à terceira coordenada coincide com a região delimitada por C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera de raio 1 (a esfera unitária) centrada na origem do sistema de coordenadas xyz. Temos um pentágono regular C inscrito nessa esfera e que está no plano xy. A gente precisa encontrar a área na esfera que, quando projetada na direção do eixo z (a terceira coordenada), cai exatamente na região delimitada por esse pentágono C. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo de áreas em superfícies curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa projeção na direção do eixo z. Imagine que você está olhando para a esfera de cima, ao longo do eixo z. A projeção de uma parte da esfera nesse plano é basicamente a “sombra” que essa parte faz no plano xy. Então, a região que nos interessa é justamente a parte da esfera que está “acima” do pentágono C quando olhamos de cima.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a esfera usando coordenadas polares. A equação da esfera unitária é x^2 + y^2 + z^2 = 1. Resolver para z z = raiz1 - x^2 - y^2. A área que queremos calcular é a integral dessa expressão sobre a região limitada por C no plano xy. Para facilitar, podemos passar para coordenadas polares (r, theta), onde x = rcostheta e y = rsintheta.

Passo 4

Em coordenadas polares, a área diferencial na esfera é dada por dA = rraiz1 - r^2 dr dtheta. O pentágono regular inscrito na esfera tem todos os seus vértices na circunferência de raio 1 no plano xy, então a região limitada por C é um círculo inscrito no pentágono com raio r = cos(pi5). Portanto, vamos integrar r de 0 até cos(pi5) e theta de 0 a 2pi.
A integral fica:
Área = integral0^2pi integral0^cos(pi5) rraiz1 - r^2 dr dtheta Á

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral rraiz1 - r^2 dr
Fazendo a substituição u = 1 - r^2, então du = -2r dr, ou seja, - 12 du = r dr. A integral se torna:
- 12 integral 1raizu du = - raizu + C = - raiz1 - r^2 + C
Aplicando os limites de 0 a cos(pi5):
- raiz1 - cos^2(pi5) + raiz1 - 0^2 = - sin(pi5) + 1
Agora, integraremos isso em relação a theta de 0 a 2pi:
Área = integral0^2pi (1 - sin(pi5)) dtheta = (1 - sin(pi5)) cdot 2pi Á

Resposta

A área da região na esfera é 2pi (1 - sin(pi5)) unidades de área.

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