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Número da Turma:
- PROBLEMA 7
(Bônus - 1 ponto) Considere uma esfera de raio unitário centrada na origem de um sistemas de coordenadas
. Seja
um pentágono regular inscrito na esfera e contido no plano
. Determine a área da região contida na esfera cuja projeção com respeito à terceira coordenada coincide com a região delimitada por
.
Número da Turma:
(Bônus - 1 ponto) Considere uma esfera de raio unitário centrada na origem de um sistemas de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera de raio 1 (a esfera unitária) centrada na origem do sistema de coordenadas
. Temos um pentágono regular
inscrito nessa esfera e que está no plano
. A gente precisa encontrar a área na esfera que, quando projetada na direção do eixo
(a terceira coordenada), cai exatamente na região delimitada por esse pentágono
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo de áreas em superfícies curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa projeção na direção do eixo
. Imagine que você está olhando para a esfera de cima, ao longo do eixo
. A projeção de uma parte da esfera nesse plano é basicamente a “sombra” que essa parte faz no plano
. Então, a região que nos interessa é justamente a parte da esfera que está “acima” do pentágono
quando olhamos de cima.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a esfera usando coordenadas polares. A equação da esfera unitária é
. Resolver para
dá
. A área que queremos calcular é a integral dessa expressão sobre a região limitada por
no plano
. Para facilitar, podemos passar para coordenadas polares
, onde
e
.
Passo 4
Em coordenadas polares, a área diferencial na esfera é dada por
. O pentágono regular inscrito na esfera tem todos os seus vértices na circunferência de raio 1 no plano
, então a região limitada por
é um círculo inscrito no pentágono com raio
. Portanto, vamos integrar
de 0 até
e
de 0 a
.
A integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral se torna:
Aplicando os limites de 0 a
:
Agora, integraremos isso em relação a
de 0 a
:
Resposta
A área da região na esfera é
unidades de área.