Em cada um dos itens abaixo, responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, esboce as idéias de uma demonstração e, se for falsa, dê um contra-exemplo.
( ) Para quaisquer a, b in R, a=b Leftrightarrow a^2=b^2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a equivalência “para quaisquer reais a e b, a = b se e somente se a² = b²” é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, esboçar prova ou dar contra-exemplo. O conteúdo envolve lógica de equivalência e propriedades da função quadrática.

Passo 2

Mostraremos que a implicação direta (se a = b então a² = b²) é sempre válida, mas que a recíproca (se a² = b² então a = b) falha em geral. Primeiro, se a = b, então elevando ambos os lados ao quadrado temos a² = b², sem ressalvas.
Para a recíproca, suponha a² = b². Da igualdade de quadrados temos a² − b² = 0, isto é (a − b)(a + b) = 0. Logo, ou a − b = 0 (a = b) ou a + b = 0 (a = −b). Isso mostra que a² = b² implica que a = b ou a = −b, mas não garante necessariamente a = b.

Passo 3

Portanto, a equivalência completa a = b “se e somente se” a² = b² é falsa. Um contra-exemplo simples é escolher a = 1 e b = −1: temos 1² = (−1)² mas 1 ≠ −1, violando o bicondicional.
Concluímos que a afirmação é falsa e o contra-exemplo a = 1, b = −1 demonstra isso.

Resposta

Falsa, contra-exemplo: a = 1 e b = −1.

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