Obtenha uma representação em série de potências em torno de a (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
f(x)=x^4-2 x^3-5 x+4, a=0 ;

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de f(x)=x⁴−2x³−5x+4 em torno de a=0 (ou seja, a série de Maclaurin) e o intervalo de convergência.

Passo 2

Como f(x) é um polinômio de grau 4, sua expansão em série de potências é trivial: basta identificar os coeficientes de cada potência de x.
Listamos os coeficientes aₙ tais que f(x)=∑ₙ₌₀⁴ aₙ xⁿ: a₀=4, a₁=−5, a₂=0, a₃=−2, a₄=1.
Logo, a representação em série é f(x)=4 −5x +0x² −2x³ +x⁴.

Passo 3

Por fim, todo polinômio converge para todo x real, então o intervalo de convergência é (−∞, ∞).

Resposta

f(x)=4 -5x +0x^2 -2x^3 +x^4 = sumn=0^4an x^n, a0=4,,a1=-5,,a2=0,,a3=-2,,a4=1
Intervalo de convergência: (−∞, ∞).

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