Em cada um dos itens abaixo, responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, esboce as idéias de uma demonstração e, se for falsa, dê um contra-exemplo.
( ) Para quaisquer x, y in R, x^3.

Passo 1

O enunciado pergunta se para quaisquer x,yinR vale a equivalência x^3. O conteúdo envolvido é a monotonicidade da função f(t)=t^3. Vamos precisar usar a propriedade de fatoração e análise de sinais.

Passo 2

Começamos observando a diferença de cubos:
y^3 - x^3 = (y-x)(y^2 + yx + x^2)

Passo 3

Note que se y>x então y-x>0. Além disso, para quaisquer x,y reais,
y^2 + yx + x^2 = 12l((y+x)^2 + (y-x)^2r) > 0, pois é soma de quadrados. Logo o produto
(y-x)(y^2+yx+x^2) é estritamente positivo sempre que y>x, o que implica y^3 - x^3>0, ou seja x^3. O raciocínio inverso é análogo trocando x e y.
Portanto a função t^3 é estritamente crescente em R e a equivalência é válida.

Resposta

V

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