Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira
ou falsa
, justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
Para quaisquer
tem-se
.
Para quaisquer
Passo 1
Beleza, a questão está perguntando se a afirmação “Para quaisquer $ x, y, z \in \mathbb{R} $, temos $ |x - y| \leq |x - z| + |z - y| $” é verdadeira ou falsa. A matéria relacionada aqui é a Teoria dos Valores Absolutos e Desigualdade Triangular. Vamos precisar entender como os valores absolutos funcionam e aplicar a desigualdade triangular para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número, representado por $ |a| $, é a distância desse número até o zero na reta numérica. Ou seja, $ |a| \geq 0 $ para qualquer $ a \in \mathbb{R} $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a afirmação: $ |x - y| \leq |x - z| + |z - y| $. Isso se parece muito com a Desigualdade Triangular, que diz que em qualquer triângulo, o comprimento de um lado é menor ou igual à soma dos comprimentos dos outros dois lados.
Passo 4
Vamos associar $ x, y, z $ a pontos na reta numérica. Imagine que $ x, y, z $ são três pontos na linha. A distância entre $ x $ e $ y $ é $ |x - y| $, entre $ x $ e $ z $ é $ |x - z| $, e entre $ z $ e $ y $ é $ |z - y| $.
Passo 5
Pense que para ir de $ x $ a $ y $, você pode ir diretamente (distância $ |x - y| $) ou ir de $ x $ a $ z $ e depois de $ z $ a $ y $ (distância total $ |x - z| + |z - y| $). A distância direta nunca será maior que a soma das duas outras distâncias. Isso é exatamente o que a desigualdade triangular diz.
Passo 6
Para ter certeza, vamos considerar um exemplo. Suponha que $ x = 1 $, $ y = 4 $, e $ z = 2 $:
- $ |x - y| = |1 - 4| = 3 $
- $ |x - z| = |1 - 2| = 1 $
- $ |z - y| = |2 - 4| = 2 $
Então, $ 3 \leq 1 + 2 $ que resulta em $ 3 \leq 3 $, o que é verdade.
Resposta
A afirmação é verdadeira (V), pois ela segue a desigualdade triangular que sempre se aplica aos valores absolutos na reta real.