Nós só verificamos quando A subset R^2 é gráfico de alguma função f: R R. Mas é relativamente simples estender tal critério para verificar quando A é gráfico de alguma função f: D R, onde D subset R. Encontre o critério.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o lance aqui! A questão pede para a gente descobrir como saber se um conjunto $ A $ dentro de $ \mathbb{R}^2 $ é o gráfico de uma função $ f $ que vai de um conjunto $ D \subset \mathbb{R} $ para $ \mathbb{R} $. Basicamente, queremos saber qual a regra que $ A $ precisa seguir para ser o gráfico de uma função desse tipo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e gráficos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser o gráfico de uma função. Se $ A $ é o gráfico de $ f: D \rightarrow \mathbb{R} $, então para cada $ x $ em $ D $, existe exatamente um $ y $ tal que $ (x, y) \in A $. Isso significa que para cada valor de entrada $ x $, não pode ter mais de um valor de saída $ y $.

Passo 3

Então, a gente precisa garantir duas coisas:
  1. Existência: Para todo $ x $ em $ D $, pelo menos um $ y $ deve existir tal que $ (x, y) \in A $.
  2. Unicidade: Esse $ y $ deve ser único, ou seja, não pode ter dois valores diferentes de $ y $ para o mesmo $ x $.

Passo 4

Vamos traduzir isso em termos matemáticos. O conjunto $ A $ será o gráfico de uma função $ f $ se, e somente se, para todo $ x \in D $, existe um único $ y \in \mathbb{R} $ tal que $ (x, y) \in A $. Em outras palavras, não pode ter dois pontos no gráfico com o mesmo $ x $ mas com $ y $ diferentes.

Passo 5

Isso evita que a relação representada por $ A $ seja uma “função ruim”, onde um mesmo $ x $ teria vários $ y $, o que violaria a definição de função. Então, nosso critério é justamente esse: cada $ x $ está relacionado a um único $ y $.

Resposta

Um conjunto $ A \subset \mathbb{R}^2 $ é o gráfico de uma função $ f: D \rightarrow \mathbb{R} $ se, e somente se, para todo $ x \in D $, existe exatamente um $ y \in \mathbb{R} $ tal que $ (x, y) \in A $. Ou seja, não pode haver dois pontos em $ A $ com o mesmo $ x $ mas com $ y $ distintos.

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