Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial d yd x+y cos x=cos x
Escolha uma opção:
y=C e^-sen x+e^-sen x(sen x-cos x)
y=C e^-cos x+1
Nenhuma das demais alternativas
y=C e^cos x+1
y=C e^-cos x-sen x+1
y=C e^sen x+1

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial dydx + y cos x = cos x. Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos na equação. Ela está na forma padrão:
dydx + P(x)y = Q(x)
Aqui, P(x) = cos x e Q(x) = cos x.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( mu(x)). O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral cos x , dx = e^sin x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^sin x dydx + e^sin x y cos x = e^sin x cos x
Isso transforma a equação em:
ddx ( e^sin x y ) = e^sin x cos x
Isso ocorre porque a esquerda da equação agora é a derivada do produto e^sin x y.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^sin x y ) dx = integral e^sin x cos x , dx
O lado esquerdo simplifica para:
e^sin x y = integral e^sin x cos x , dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral integral e^sin x cos x , dx. Observamos que:
ddx e^sin x = e^sin x cos x
Então, a integral fica:
integral e^sin x cos x , dx = e^sin x + C

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:
e^sin x y = e^sin x + C
Para encontrar y, dividimos ambos os lados por e^sin x:
y = 1 + C e^-sin x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y = C e^-sin x + 1. Portanto, a opção correta é:
y = C e^-sin x + 1

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