(2,0 pontos) Determinar o volume do sólido obtido por rotação da região delimitada pela curva
e reta
, em torno do eixo em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva $ x = y^{2} $ e a reta $ x = 1 $. Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando giramos a região limitada por essas duas curvas em torno do eixo $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é útil para calcular volumes de sólidos de rotação em torno de eixos verticais.
Passo 2
Vamos começar identificando os limites de integração. A curva $ x = y^{2} $ é uma parábola que abre para a direita. A reta $ x = 1 $ intercepta a parábola quando $ y^{2} = 1 $, ou seja, quando $ y = 1 $ e $ y = -1 $. Portanto, nosso intervalo para $ y $ vai de $ -1 $ a $ 1 $.
Passo 3
No método dos cilindros, consideramos uma fatia vertical da região a uma altura $ y $ qualquer entre $ -1 $ e $ 1
x = 1 $) e a curva $ x = y^{2} $. Esse raio é $ r = 1 - y^{2} $.
Passo 4
A altura do cilindro é o comprimento da fatia, que neste caso é constante e igual a $ \Delta y $. A circunferência do cilindro é $ 2\pi r $, então a área da superfície lateral do cilindro é $ 2\pi(1 - y^{2}) $.
Passo 5
Para encontrar o volume total, integramos a área das superfícies laterais dos cilindros de $ y = -1 $ a $ y = 1 $:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então:
Passo 7
Agora, avaliamos nos limites de integração:
Para $ y = 1 $:
Para $ y = 1 $:
Para $ y = -1 $:
Subtraindo:
Passo 8
Multiplicando pelo $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido obtido é $ \frac{8\pi}{3} $ unidades cúbicas.