Em cada um dos itens abaixo trace um esboço do gráfico da função, determine se a função é contínua no ponto indicado, calcule as derivadas laterais neste ponto e determine se a função é (ou não) derivável no ponto.
b) , em x=2
Passo 1
Temos a função por partes
f(x)= 3-2x, & x<2, 3x-7, & x>=2,
e queremos, em x=2:
esboçar o gráfico, 2) testar continuidade, 3) calcular as derivadas laterais e 4) decidir se é derivável.
Passo 2
O ramo para x<2 é a reta de coeficiente angular -2 e intercepto 3, ou seja, passa por (0,3) e chega a (2,-1) com círculo aberto aí.
O ramo para x>=2 é a reta de coeficiente angular 3 e intercepto -7, que em x=2 dá 3cdot2-7=-1, com ponto cheio em (2,-1).
Assim, o gráfico são duas retas que se encontram em (2,-1), sem salto.
Passo 3
Calculamos
limxto2^-f(x)=3-2cdot2=-1,
limxto2^+f(x)=3cdot2-7=-1,
e f(2)=3cdot2-7=-1.
Como limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)=f(2), f é contínua em x=2.
Passo 4
A derivada à esquerda é a derivada de 3-2x, que vale -2.
A derivada à direita é a derivada de 3x-7, que vale 3.
Logo
f'-(2)=-2, f'+(2)=3
Passo 5
Como f'-(2)neq f'+(2), a derivada não existe em x=2. Ou seja, f não é derivável em x=2.
Resposta
Esboço: duas retas que se cruzam em (2,-1) (ramo decrescente até ali, crescente depois).
Contínua em x=2.
Derivadas laterais em x=2: f'-(2)=-2 e f'+(2)=3.
Não derivável em x=2.