Find the points on the given curve where the tangent line is horizontal or vertical.
r=1+cos theta

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva em coordenadas polares dada por
r = 1 + costheta
onde a reta tangente é horizontal ou vertical. O conteúdo é derivação em coordenadas polares, usando a fórmula do declive
dydx = drdthetasintheta + rcosthetadrdthetacostheta - rsintheta

Passo 2

Calcular a derivada de r em relação a theta. Como r=1+costheta, temos
drdtheta = -sintheta

Passo 3

Substituindo em dydx, o numerador e o denominador ficam:
N(theta) = (-sintheta)sintheta + (1+costheta)costheta = -sin^2theta + cos^2theta + costheta,
D(theta) = (-sintheta)costheta - (1+costheta)sintheta = -sintheta,(2costheta+1)

Passo 4

Para tangente horizontal exigimos dy/dx=0 com D(theta)neq0, ou seja
N(theta)=0 Longrightarrow cos^2theta-sin^2theta+costheta=0
usando cos^2theta-sin^2theta=cos2theta, ou
2cos^2theta + costheta -1 =0
Resolvendo em x=costheta:
x=-1pmraiz1+84 = -1pm34 implies xinltfrac12,,-1r

Passo 5

costheta=-1 theta=pi, mas aí D(pi)=0 (ponto de cusp), rejeitamos.
costheta=tfrac12 theta=tfracpi3,;tfrac5pi3 e nestes Dneq0, logo são tangentes horizontais.

Passo 6

Calcular r e converter para pontos. Para theta=tfracpi3,tfrac5pi3:
r=1+tfrac12=tfrac32
Em coordenadas polares os pontos são
l(tfrac32,;tfracpi3r), l(tfrac32,;tfrac5pi3r)

Passo 7

Para tangente vertical exigimos D(theta)=0 com N(theta)neq0, ou seja
sintheta,(2costheta+1)=0

Passo 8

Isso dá sintheta=0 ou costheta=-tfrac12.
  • sintheta=0 theta=0,pi. Em theta=0, N(0)=2neq0 e r=2. Em theta=pi tem cusp ( N(pi)=0), descartamos.
  • costheta=-tfrac12 theta=tfrac2pi3,tfrac4pi3. Nesses N=-1neq0 e
r=1+(-tfrac12)=tfrac12

Passo 9

Em resumo, os pontos com tangente vertical em coordenadas polares são
l(2,,0r), l(tfrac12,,tfrac2pi3r), l(tfrac12,,tfrac4pi3r)

Resposta

Tangentes horizontais em
l(tfrac32,tfracpi3r),;l(tfrac32,tfrac5pi3r)
Tangentes verticais em
l(2,0r),;l(tfrac12,tfrac2pi3r),;l(tfrac12,tfrac4pi3r)

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