Find the points on the given curve where the tangent line is horizontal or vertical.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da curva em coordenadas polares dada por
onde a reta tangente é horizontal ou vertical. O conteúdo é derivação em coordenadas polares, usando a fórmula do declive
Passo 2
Calcular a derivada de
em relação a
. Como
, temos
Passo 3
Substituindo em
, o numerador e o denominador ficam:
Passo 4
Para tangente horizontal exigimos
com
, ou seja
usando
, ou
Resolvendo em
:
Passo 5
Passo 6
Calcular
e converter para pontos. Para
:
Em coordenadas polares os pontos são
Passo 7
Para tangente vertical exigimos
com
, ou seja
Passo 8
Isso dá
ou
.
-
dá . Em , e . Em tem cusp ( ), descartamos. -
dá . Nesses e
Passo 9
Em resumo, os pontos com tangente vertical em coordenadas polares são
Resposta
Tangentes horizontais em
Tangentes verticais em