Find the points on the given curve where the tangent line is horizontal or vertical.
r=1-sin theta

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva em coordenadas polares
r = 1 - sintheta
onde a reta tangente é horizontal ou vertical. O conteúdo é derivação de curvas em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula
dydx = drdtheta,sintheta + rcostheta drdtheta,costheta - rsintheta

Passo 2

Calculamos primeiro
drdtheta = -costheta
Substituindo na fórmula da derivada:
dydx = -costhetasintheta + (1-sintheta)costheta -costhetacostheta - (1-sintheta)sintheta = costheta,(1 - 2sintheta) -cos^2theta - sintheta + sin^2theta
No denominador usamos cos^2theta+sin^2theta=1 para escrever
-cos^2theta - sintheta + sin^2theta = -(cos^2theta-sin^2theta) - sintheta = -cos2theta - sintheta

Passo 3

Para tangente horizontal fazemos
Verificamos que em também zera, gerando indeterminação, então descartamos. Para , o denominador fica
, logo é horizontal. Para o denominador não se anula, então são horizontais também. Calculamos e passamos a cartesiano:

Passo 4

Para tangente vertical fazemos o denominador zero e o numerador não zero:
-cos2theta - sintheta =0 ;Longrightarrow; cos2theta + sintheta=0
Usando cos2theta=1-2sin^2theta vem
1-2sin^2theta + sintheta = 0 ;Longrightarrow; 2sin^2theta - sintheta - 1 = 0 ;Longrightarrow; sintheta = 1 ou sintheta=-tfrac12
sintheta=1 theta=pi/2, mas aí o numerador costheta(1-2sintheta) também é zero, então descartamos. Ficam
sintheta=-tfrac12Rightarrowtheta=tfrac7pi6,tfrac11pi6.
Nesses pontos o numerador é 2costhetaneq0, então são verticais. Calculamos r e as coordenadas:
r=1-(-tfrac12)=tfrac32,
theta=tfrac7pi6&:;(x,y)=l(tfrac32costfrac7pi6,;tfrac32sintfrac7pi6r) =l(-tfrac3raiz34,-tfrac34r), theta=tfrac11pi6&:;(x,y)=l(tfrac32costfrac11pi6,;tfrac32sintfrac11pi6r) =l(tfrac3raiz34,-tfrac34r)

Resposta

Horizontal em l(tfracraiz34,tfrac14r), l(-tfracraiz34,tfrac14r) e (0,-2).
Vertical em l(-tfrac3raiz34,-tfrac34r) e l(tfrac3raiz34,-tfrac34r).

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