Find the points on the given curve where the tangent line is horizontal or vertical.
r=2+sin theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 2 + sintheta
e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Para curvas polares usamos a fórmula
dydx = drdthetasintheta + rcostheta drdthetacostheta - rsintheta

Passo 2

Calculamos primeiro drdtheta. Como r=2+sintheta,
drdtheta = costheta
Substituindo na expressão de tfracdydx definimos
N = drdthetasintheta + rcostheta = costheta,sintheta + (2+sintheta)costheta = 2costheta,(sintheta+1),
D = drdthetacostheta - rsintheta = cos^2theta - (2+sintheta)sintheta = cos2theta - 2sintheta

Passo 3

Tangente horizontal Long<=ftrightarrow tfracdydx=0 Long<=ftrightarrow N=0 e Dneq0.
N=2costheta,(sintheta+1)=0 ;Longrightarrow; costheta=0ousintheta=-1
Isso dá theta=tfracpi2 (com r=2+1=3) e theta=tfrac3pi2 (com r=2-1=1). Em ambos Dneq0, logo há tangentes horizontais em
(r,theta)=(3,tfracpi2),(1,tfrac3pi2)

Passo 4

Tangente vertical Long<=ftrightarrow D=0 e Nneq0.
D=cos2theta -2sintheta=0 ;Longrightarrow; 1-2sin^2theta =2sintheta ;Longrightarrow; 2sin^2theta+2sintheta-1=0
sintheta=-1pmraiz1+22 =-1pmraiz32 ;Longrightarrow; sintheta=raiz3-12(válido) á
Chamando alpha=arcsinl(tfracraiz3-12r), obtemos
theta=alpha e theta=pi-alpha. Nesses ângulos
r=2+sintheta=2+raiz3-12=3+raiz32,
e verifica-se Nneq0. Logo há tangentes verticais em
l(r,thetar)=l(tfrac3+raiz32,,alphar), l(tfrac3+raiz32,,pi-alphar)

Resposta

Os pontos onde a tangente é horizontal são
(r,theta)=(3,tfracpi2) e (1,tfrac3pi2),
e os pontos onde a tangente é vertical são
l(tfrac3+raiz32,,alphar) e l(tfrac3+raiz32,,pi-alphar),
com alpha=arcsinl(tfracraiz3-12r).

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