Em cada um dos itens abaixo trace um esboço do gráfico da função, determine se a função é contínua no ponto indicado, calcule as derivadas laterais neste ponto e determine se a função é (ou não) derivável no ponto.
e)
, em
e)
Passo 1
O enunciado nos dá a função por partes
e pede para, em
: fazer um esboço do gráfico, testar continuidade, calcular as derivadas laterais e decidir se é derivável ali. O conteúdo é de continuidade e derivabilidade de funções definidas por partes, usando limites e definição de derivada por limite de diferença incremental.
Passo 2
Para esboçar o gráfico observe que, em
,
é uma reta horizontal. Em
,
é uma reta de coeficiente angular
que em
dá
. Portanto temos:
e esses dois se encontram exatamente no ponto
, garantindo um encaixe sem “pulo” no valor.
Passo 3
Testando continuidade em
:
e o valor
. Como
concluímos que
é contínua em
.
Passo 4
Agora as derivadas laterais em
. Pela definição de derivada como limite da diferença de quocientes:
Derivada à esquerda
Derivada à esquerda
Derivada à direita
Passo 5
Como as derivadas laterais são diferentes
, a derivada de
em
não existe.
Resposta
A função é contínua em
, mas não é derivável em
, pois