Em cada um dos itens abaixo trace um esboço do gráfico da função, determine se a função é contínua no ponto indicado, calcule as derivadas laterais neste ponto e determine se a função é (ou não) derivável no ponto.
e) f(x)=c-1, se x<0 x-1, se x >= 0, em x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= -1, & x<0, x-1, & x>=0,
e pede para, em x=0: fazer um esboço do gráfico, testar continuidade, calcular as derivadas laterais e decidir se é derivável ali. O conteúdo é de continuidade e derivabilidade de funções definidas por partes, usando limites e definição de derivada por limite de diferença incremental.

Passo 2

Para esboçar o gráfico observe que, em x<0, f(x)=-1 é uma reta horizontal. Em x>=0, f(x)=x-1 é uma reta de coeficiente angular 1 que em x=0 f(0)=0-1=-1. Portanto temos:
ramo esquerdo: y=-1(x<0),
ramo direito: y=x-1(x>=0),
e esses dois se encontram exatamente no ponto (0,-1), garantindo um encaixe sem “pulo” no valor.

Passo 3

Testando continuidade em x=0:
limxto0^-f(x)=-1, limxto0^+f(x)=limxto0^+(x-1)=-1,
e o valor f(0)=0-1=-1. Como
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x) =f(0)=-1,
concluímos que f é contínua em x=0.

Passo 4

Agora as derivadas laterais em x=0. Pela definição de derivada como limite da diferença de quocientes:
Derivada à esquerda
f'-(0)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^--1-(-1)h =limhto0^-0=0
Derivada à direita
f'+(0)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+(h-1)-(-1)h =limhto0^+hh=1

Passo 5

Como as derivadas laterais são diferentes l(f'-(0)=0neq1=f'+(0)r), a derivada de f em 0 não existe.

Resposta

A função é contínua em x=0, mas não é derivável em x=0, pois
f'-(0)=0 e f'+(0)=1

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