Show that the polar equation r=a sin theta+b cos theta, where a b neq 0, represents a circle, and find its center and radius.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a curva dada em coordenadas polares
r = asintheta + bcostheta,
com abneq0, é um círculo. Para isso vamos usar a relação entre coordenadas polares e Cartesianas e completar quadrados. Ao final, identificamos o centro e o raio do círculo.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2 + y^2
Substituímos r, costheta = x/r e sintheta = y/r na equação r = asintheta + bcostheta.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por r, obtemos
r^2 = a,y + b,x
Como r^2 = x^2 + y^2, isso vira
x^2 + y^2 = b,x + a,y

Passo 4

Reescrevemos agrupando termos em x e em y e completamos quadrados:
x^2 - b,x + y^2 - a,y = 0 Longrightarrow l(x - tfracb2r)^2 - tfracb^24 + l(y - tfraca2r)^2 - tfraca^24 = 0
Isolando os quadrados,
l(x - tfracb2r)^2 + l(y - tfraca2r)^2 = a^2 + b^24

Passo 5

A última equação é a de um círculo de centro l(tfracb2,tfraca2r) e raio
R = raiza^2 + b^22

Resposta

A curva é o círculo de centro l(tfracb2,tfraca2r) e raio tfracraiza^2 + b^22.

Exercícios relacionados