Em cada um dos itens abaixo trace um esboço do gráfico da função, determine se a função é contínua no ponto indicado, calcule as derivadas laterais neste ponto e determine se a função é (ou não) derivável no ponto.
g) f(x)=cx^2, se x <=-1 -1-2 x, se x>-1, em
x=-1 ;

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes
f(x)= x^2,&x<= -1, -1-2x,&x>-1,
e pede, em x=-1: (i) um esboço do gráfico, (ii) verificar se f é contínua, (iii) calcular as derivadas laterais e (iv) decidir se f é derivável. Vamos usar a definição de continuidade (os limites lateral esquerdo, valor da função e lateral direito devem coincidir) e de derivada lateral (limites do quociente incremental pela esquerda e pela direita).

Passo 2

Esboçamos f assim:
– Para x<= -1, f(x)=x^2 é o ramo esquerdo da parábola que passa por (-1,1).
– Para x>-1, f(x)=-1-2x é uma reta de coeficiente angular -2 que também passa por (-1,1).
No ponto (-1,1) não há “salto”, pois ambas as curvas se encontram ali.

Passo 3

Calculamos os limites laterais em x=-1 para testar a continuidade.
Pela esquerda:
limxto -1^-f(x) =limxto -1^-x^2 =(-1)^2=1
Pela direita:
limxto -1^+f(x) =limxto -1^+(-1-2x) =-1-2(-1)=1
E o valor da função em x=-1 é
f(-1)=(-1)^2=1
Como limxto -1^-f(x)=f(-1)=limxto -1^+f(x)=1, f é contínua em x=-1.

Passo 4

Agora as derivadas laterais em x=-1.
Derivada lateral esquerda (ramo x^2):
f'(-1^-)=ddxx^2|x=-1 =2x|x=-1=-2
Derivada lateral direita (ramo -1-2x):
f'(-1^+)=ddx(-1-2x)|x=-1 =-2

Passo 5

Como ambas as derivadas laterais existem e coincidem em -2, concluímos que f é derivável em x=-1 e f'(-1)=-2.

Resposta

O gráfico é o ramo de parábola y=x^2 para x<= -1 e a reta y=-1-2x para x>-1, ligando-se em (-1,1).
f é contínua em x=-1.
As derivadas laterais valem f'(-1^-)=f'(-1^+)=-2.
Logo, f é derivável em x=-1 e f'(-1)=-2.

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