Show that the curves r=a sin theta and r=a cos theta intersect at right angles.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as curvas polares
r = a sintheta
e
r = a costheta
se cruzam ortogonalmente. O conteúdo necessário envolve a fórmula do declive dy/dx em coordenadas polares e o critério de que duas curvas se intersectam a ângulo reto quando o produto dos seus declives no ponto de interseção vale -1.

Passo 2

Em coordenadas polares, se r = r(theta), temos
dydx = drdtheta,sintheta + rcostheta drdtheta,costheta - rsintheta,

Passo 3

Para r = a sintheta calculamos
drdtheta = acostheta
e substituímos na fórmula:
dydx|1 = acosthetasintheta + asinthetacostheta acosthetacostheta - asinthetasintheta = 2asinthetacosthetaa(cos^2theta-sin^2theta) = sin2thetacos2theta = tan2theta

Passo 4

Para r = a costheta temos
drdtheta = -asintheta
e
dydx|2 = -asinthetasintheta + acosthetacostheta -asinthetacostheta - acosthetasintheta = a(cos^2theta-sin^2theta)-2asinthetacostheta = -cos2thetasin2theta = -cot2theta

Passo 5

As curvas intersectem quando
asintheta = acostheta Longrightarrow tantheta = 1 Longrightarrow theta = pi4 (bmodpi)
Neste ângulo 2theta = pi2, de modo que
dydx|1 = tan!l(tfracpi2r) = infty, dydx|2 = -cot!l(tfracpi2r) = 0,
ou, de forma geral, observa-se
(tan2theta)!l(-cot2thetar) = -1,
logo os declives são perpendiculares.

Resposta

As curvas intersectam-se em ângulo reto, pois o produto dos seus declives no ponto de interseção vale -1.

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