Em cada um dos itens abaixo trace um esboço do gráfico da função, determine se a função é contínua no ponto indicado, calcule as derivadas laterais neste ponto e determine se a função é (ou não) derivável no ponto.
h) f(x)=|x|^2-1x-1, se x neq 1 e f(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = dfrac|x|^2-1x-1, & xneq 1,[6pt] 2, & x=1,
e pede (i) esboço do gráfico, (ii) continuidade em x=1, (iii) derivadas laterais em x=1 e (iv) se é derivável em x=1. Vamos usar simplificação algébrica, definição de limite e derivada lateral.]

Passo 2

Para xneq1 note que |x|^2=x^2. Então
f(x)=x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1
Ou seja, em todo ponto exceto x=1, a função é a reta y=x+1.

Passo 3

Esboço do gráfico: é a reta y=x+1 no domínio real inteiro, e em x=1 a definição atribui f(1)=2. Como 1+1=2, o ponto (1,2) já pertence à reta. Logo o gráfico é simplesmente a reta y=x+1 sem nenhum “buraco” ou ponto destacado.

Passo 4

Continuidade em x=1: calculemos
limxto1f(x)=limxto1(x+1)=1+1=2
e dado que f(1)=2, temos limxto1f(x)=f(1). Portanto f é contínua em x=1.

Passo 5

Derivadas laterais em x=1: como para xneq1 vale f(x)=x+1, a derivada dessa reta é constante igual a 1. Ou seja,
f'-(1)=limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-(1+h+1)-2h =limhto0^-hh=1,
e de forma análoga
f'+(1)=1
Como as derivadas laterais são iguais ( 1=1), a derivada existe em x=1. Logo f é derivável em x=1 e f'(1)=1.

Resposta

A função é contínua em x=1, tem
f'-(1)=f'+(1)=1,
e portanto é derivável em x=1 com f'(1)=1.

Exercícios relacionados