Em cada um dos itens abaixo trace um esboço do gráfico da função, determine se a função é contínua no ponto indicado, calcule as derivadas laterais neste ponto e determine se a função é (ou não) derivável no ponto.
h) , se e
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (i) esboço do gráfico, (ii) continuidade em x=1, (iii) derivadas laterais em x=1 e (iv) se é derivável em x=1. Vamos usar simplificação algébrica, definição de limite e derivada lateral.]
Passo 2
Para xneq1 note que |x|^2=x^2. Então
f(x)=x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1
Ou seja, em todo ponto exceto x=1, a função é a reta y=x+1.
Passo 3
Esboço do gráfico: é a reta y=x+1 no domínio real inteiro, e em x=1 a definição atribui f(1)=2. Como 1+1=2, o ponto (1,2) já pertence à reta. Logo o gráfico é simplesmente a reta y=x+1 sem nenhum “buraco” ou ponto destacado.
Passo 4
Continuidade em x=1: calculemos
limxto1f(x)=limxto1(x+1)=1+1=2
e dado que f(1)=2, temos limxto1f(x)=f(1). Portanto f é contínua em x=1.
Passo 5
Derivadas laterais em x=1: como para xneq1 vale f(x)=x+1, a derivada dessa reta é constante igual a 1. Ou seja,