Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{3}(x)=f(x-1)+4;

Passo 1

O que o enunciado pede: representar geometricamente a função g_{3}(x)=f(x-1)+4 usando translação.
Informações dadas: a expressão analítica de g_{3} em termos de f; não há outras informações (nenhum gráfico específico fornecido).

Passo 2

Entendendo a transformação em cada parte da expressão: observe que há duas modificações em relação a f(x):
  • dentro da função: x foi substituído por x-1, ou seja temos f(x-1);
  • fora da função: soma-se +4, ou seja f(x-1)+4.
Vou explicar, passo a passo, o efeito geométrico de cada uma delas (sem pular etapas).

Passo 3

Efeito da substituição x\mapsto x-1 (horizontal): pegue um ponto qualquer do gráfico de f, digamos (a,f(a)). Queremos encontrar o ponto correspondente no gráfico de y=f(x-1). Procuramos x tal que
f(x-1)=f(a).
Isso ocorre quando x-1=a, ou seja x=a+1. Portanto, o ponto (a,f(a)) do gráfico de f corresponde ao ponto (a+1,f(a)) do gráfico de y=f(x-1). Conclusão: a transformação f(x)\mapsto f(x-1) desloca o gráfico de f uma unidade para a direita. (Explicação intuitiva: cada saída f(a) agora ocorre em x=a+1, então tudo anda para a direita.)

Passo 4

Efeito da adição externa +4 (vertical): a partir do passo anterior temos y=f(x-1). Agora somar +4 significa que cada valor de y sobe 4 unidades. Em termos de pontos: um ponto (x,y) no gráfico de y=f(x-1) passa a ser (x,y+4) no gráfico de y=f(x-1)+4. Combinando com o passo anterior (onde (a,f(a)) foi para (a+1,f(a))), ao aplicar a ele a soma +4 obtemos (a+1,f(a)+4).

Passo 5

Resumo prático e como desenhar no papel:
  • Primeiro: desloque todo o gráfico de f uma unidade para a direita (cada ponto (a,f(a)) vai para (a+1,f(a))).
  • Segundo: a partir desse novo gráfico, mova tudo 4 unidades para cima (cada ponto (x,y) vai para (x,y+4)).
    O resultado final é o gráfico de g_{3}(x)=f(x-1)+4. Em forma vetorial, a translação é pelo vetor (1,4).

Passo 6

Alguns exemplos rápidos para fixar (cálculos diretos):
  • Se f tem um ponto (0,0), ele vira (1,4) em g_{3}, porque
g_{3}(1)=f(1-1)+4=f(0)+4=0+4=4.
  • Se f tem um ponto (2,5), ele vira (3,9) porque
g_{3}(3)=f(3-1)+4=f(2)+4=5+4=9.
Observação final: a forma do gráfico (curvatura, máximos relativos, zeros relativos em relação ao eixo do gráfico original) não muda — apenas a posição muda conforme a translação por (1,4).

Resposta

O gráfico de g_{3}(x)=f(x-1)+4 é o gráfico de f transladado 1 unidade para a direita e 4 unidades para cima; em termos de pontos, (a,f(a)) vai para (a+1,f(a)+4).

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