Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{2}(x)=f(x+3)

Passo 1

O enunciado pede: representar geometricamente, por translação, a função g_{2} definida por
g_{2}(x)=f(x+3).
Informações fornecidas:
  • A expressão que relaciona g_{2} com f é g_{2}(x)=f(x+3).
  • Não há mais informações explícitas sobre f (forma, pontos, domínio etc.).
O pedido é apenas descrever/representar geometricamente o gráfico de g_{2} a partir do gráfico de f.

Passo 2

Conceito básico de translação horizontal (explicação didática):
Uma translação geométrica desloca todo o gráfico de uma função por um vetor (h,k).
  • Se temos y=f(x-h), o gráfico de f é deslocado h unidades para a direita.
  • Se temos y=f(x+h), o gráfico de f é deslocado h unidades para a esquerda.
Por que isso acontece? Vamos entender com uma explicação passo a passo e sem pular etapas.

Passo 3

Relação ponto a ponto (razão algébrica): seja (a,f(a)) um ponto qualquer do gráfico de f. Queremos achar o ponto correspondente no gráfico de g_{2}.
Calcule g_{2} no ponto x=a-3:
g_{2}(a-3)=f\big((a-3)+3\big)=f(a).
Portanto o ponto (a-3,f(a)) pertence ao gráfico de g_{2}. Ou seja, o ponto (a,f(a)) do gráfico de f virou (a-3,f(a)) no gráfico de g_{2}.
Interpretação geométrica dessa igualdade: cada ponto do gráfico de f é movido 3 unidades no sentido negativo do eixo x (para a esquerda) para gerar o gráfico de g_{2}.

Passo 4

Regra prática resumida (para usar na prova):
  • Para desenhar o gráfico de g_{2}(x)=f(x+3), pegue o gráfico de f e desloque-o 3 unidades para a esquerda.
  • Em notação de vetor de translação: mova cada ponto por (-3,0).

Passo 5

Consequências úteis para fazer rapidamente no rascunho da prova:
  • Domínio: \mathrm{dom}(g_{2})=\{x\mid x+3\in\mathrm{dom}(f)\}=\mathrm{dom}(f)-3. Ou seja, o domínio de g_{2} é o domínio de f deslocado 3 unidades para a esquerda.
  • Imagem (range): \mathrm{Im}(g_{2})=\mathrm{Im}(f). O conjunto de valores y não muda com translação horizontal.
  • Intercepto em y: g_{2}(0)=f(3). Então o y-intercept de g_{2} é o valor de f em x=3.
  • Raízes (zeros): se f(a)=0 então g_{2}(a-3)=0. Ou seja, cada zero de f em x=a aparece em g_{2} em x=a-3.

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar):
  • Se f(x)=x^{2} (parábola com vértice em (0,0)), então
g_{2}(x)=f(x+3)=(x+3)^{2}.
O vértice de g_{2} é (-3,0): a parábola foi deslocada 3 unidades para a esquerda em relação a f. Qualquer outro ponto, por exemplo (1,1) em f, aparece em g_{2} em (1-3,1)=(-2,1).

Passo 7

Como proceder passo a passo para desenhar o gráfico na prova (guia prático):
  1. Faça um esboço do gráfico de f (ou marque alguns pontos importantes: vértice, interceptos, pontos notáveis).
  2. Para cada ponto (x,y) marcado, calcule o novo ponto (x-3,y) e marque no papel.
  3. Una suavemente os pontos deslocados mantendo a forma do gráfico de f.
  4. Verifique interceptos e assimptotas: todas as características horizontais serão deslocadas 3 para a esquerda; as características verticais (valores de y) permanecem iguais.

Passo 8

Observações finais e dica de exame: lembrar que o sinal dentro do argumento da função tem efeito oposto ao que o senso comum às vezes faz pensar: +3 dentro → deslocamento para a esquerda; -3 dentro → deslocamento para a direita. Respira fundo, faz com calma ponto a ponto e pronto!

Resposta

O gráfico de g_{2} é o gráfico de f transladado 3 unidades para a esquerda.

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