Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
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Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Pedido: representar geometricamente
a partir do gráfico de usando translações.
Informações relevantes que extraí do enunciado: - Há uma substituição
dentro da função . - Há uma subtração de
fora de .
Nada mais é fornecido (não foi dada uma fórmula explícita para); portanto a representação será em termos de deslocamentos aplicados ao gráfico de .
Passo 2
Entendendo o efeito de
(translação horizontal):
- Regra prática: substituir
por desloca o gráfico de horizontalmente. Para saber para que lado e quanto, faça o raciocínio com pontos. Seja um ponto genérico do gráfico de : . - Queremos saber para qual
da nova função a imagem será . Se então . Logo . - Conclusão (horizontal): a operação
desloca o gráfico de duas unidades para a direita. Em termos de pontos: cada ponto do gráfico de vai para após aplicar (antes de subtrair 3).
Passo 3
Entendendo o efeito de
fora de
(translação vertical):
- Regra prática: somar ou subtrair um número fora de
desloca verticalmente o gráfico. significa deslocar o gráfico de para baixo unidades. - Em termos de pontos: um ponto
do gráfico de passa a ser depois de aplicar .
Passo 4
Combinando as duas translações (ordem prática e efeito final):
- A expressão
corresponde a primeiro aplicar a translação horizontal (substituir por ) e depois a translação vertical (subtrair ). - Aplicando ambas a um ponto genérico
temos o ponto transformado
- Portanto o efeito final: deslocar o gráfico de
duas unidades para a direita e três unidades para baixo.
Passo 5
Como usar isso na prática para desenhar
a partir de
(receita passo a passo para a prova):
- No gráfico de
, marque alguns pontos-chave (interceptos, vértices, pontos de mudança de inclinação, pontos facilmente calculáveis). - Para cada ponto
que marcou, aplique a transformação . Marque esses pontos no plano. - Ligue os pontos respeitando a mesma forma/curvatura do gráfico original (a transformação preserva forma: inclinações, curvaturas e continuidade são mantidas).
- Se houver assíntotas ou retas importantes no gráfico de
, translade-as: uma assíntota vertical vira ; uma assíntota horizontal vira .
Passo 6
Observações úteis sobre propriedades após a translação:
- Intercepto em
: . (Peguei e calculei diretamente.) - Zeros (raízes):
. Se então . (As raízes são deslocadas 2 unidades à direita em relação às abscissas onde vale .) - Domínio:
(o domínio é deslocado para a direita em ). - Imagem (contradomínio efetivo):
(a imagem é a imagem de deslocada para baixo em ). - Forma: máximos, mínimos locais e monotonicidade são preservados — apenas deslocados.
Passo 7
Um exemplo concreto (para fixar a ideia — você pode usar isso como treino rápido):
- Tome
. O vértice é e alguns pontos são . - Aplicando a regra
: o vértice vai para ; ; ; . - O gráfico de
é exatamente a parábola com vértice em , confirmando a regra geral.
Passo 8
Dicas finais e ânimo (sim, dá tempo!):
- Na prova, não complique: identifique os sinais e números dentro e fora de
. Substituição → direita . Subtração fora → baixo . - Use 3 a 5 pontos bem escolhidos do gráfico de
e aplique a fórmula . Depois desenhe a curva passando por esses pontos. Você consegue!
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
deslocado
unidades para a direita e
unidades para baixo.