Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{3}(x)=f(x-2)-3;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: g_{3}(x)=f(x-2)-3.
  • Pedido: representar geometricamente g_{3} a partir do gráfico de f usando translações.
    Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • Há uma substituição x\mapsto x-2 dentro da função f.
  • Há uma subtração de 3 fora de f.
    Nada mais é fornecido (não foi dada uma fórmula explícita para f); portanto a representação será em termos de deslocamentos aplicados ao gráfico de f.

Passo 2

Entendendo o efeito de x\mapsto x-2 (translação horizontal):
  • Regra prática: substituir x por x-2 desloca o gráfico de f horizontalmente. Para saber para que lado e quanto, faça o raciocínio com pontos. Seja um ponto genérico do gráfico de f: (a,\;f(a)).
  • Queremos saber para qual x da nova função g_{3} a imagem será f(a). Se x-2=a então x=a+2. Logo g_{3}(a+2)=f((a+2)-2)-3=f(a)-3.
  • Conclusão (horizontal): a operação f(x-2) desloca o gráfico de f duas unidades para a direita. Em termos de pontos: cada ponto (a,\;f(a)) do gráfico de f vai para (a+2,\;f(a)) após aplicar f(x-2) (antes de subtrair 3).

Passo 3

Entendendo o efeito de -3 fora de f (translação vertical):
  • Regra prática: somar ou subtrair um número fora de f desloca verticalmente o gráfico. f(x)-3 significa deslocar o gráfico de f para baixo 3 unidades.
  • Em termos de pontos: um ponto (u,\;f(u)) do gráfico de f passa a ser (u,\;f(u)-3) depois de aplicar -3.

Passo 4

Combinando as duas translações (ordem prática e efeito final):
  • A expressão g_{3}(x)=f(x-2)-3 corresponde a primeiro aplicar a translação horizontal (substituir x por x-2) e depois a translação vertical (subtrair 3).
  • Aplicando ambas a um ponto genérico (a,\;f(a)) temos o ponto transformado
(a,\;f(a)) \longrightarrow (a+2,\;f(a)-3).
  • Portanto o efeito final: deslocar o gráfico de f duas unidades para a direita e três unidades para baixo.

Passo 5

Como usar isso na prática para desenhar g_{3} a partir de f (receita passo a passo para a prova):
  1. No gráfico de f, marque alguns pontos-chave (interceptos, vértices, pontos de mudança de inclinação, pontos facilmente calculáveis).
  2. Para cada ponto (a,\;f(a)) que marcou, aplique a transformação (a,\;f(a))\mapsto(a+2,\;f(a)-3). Marque esses pontos no plano.
  3. Ligue os pontos respeitando a mesma forma/curvatura do gráfico original (a transformação preserva forma: inclinações, curvaturas e continuidade são mantidas).
  4. Se houver assíntotas ou retas importantes no gráfico de f, translade-as: uma assíntota vertical x=c vira x=c+2; uma assíntota horizontal y=d vira y=d-3.

Passo 6

Observações úteis sobre propriedades após a translação:
  • Intercepto em y: g_{3}(0)=f(-2)-3. (Peguei x=0 e calculei diretamente.)
  • Zeros (raízes): g_{3}(x)=0 \iff f(x-2)=3. Se f(a)=3 então g_{3}(a+2)=0. (As raízes são deslocadas 2 unidades à direita em relação às abscissas onde f vale 3.)
  • Domínio: \text{dom}(g_{3})=\{x \mid x-2\in\text{dom}(f)\}=\text{dom}(f)+2 (o domínio é deslocado para a direita em 2).
  • Imagem (contradomínio efetivo): \text{range}(g_{3})=\{y-3 \mid y\in\text{range}(f)\}=\text{range}(f)-3 (a imagem é a imagem de f deslocada para baixo em 3).
  • Forma: máximos, mínimos locais e monotonicidade são preservados — apenas deslocados.

Passo 7

Um exemplo concreto (para fixar a ideia — você pode usar isso como treino rápido):
  • Tome f(x)=x^{2}. O vértice é (0,0) e alguns pontos são (1,1),(-1,1),(2,4).
  • Aplicando a regra (a,f(a))\mapsto(a+2,f(a)-3): o vértice (0,0) vai para (2,-3); (1,1)\mapsto(3,-2); (-1,1)\mapsto(1,-2); (2,4)\mapsto(4,1).
  • O gráfico de g_{3}(x)=(x-2)^{2}-3 é exatamente a parábola com vértice em (2,-3), confirmando a regra geral.

Passo 8

Dicas finais e ânimo (sim, dá tempo!):
  • Na prova, não complique: identifique os sinais e números dentro e fora de f. Substituição x-2 → direita 2. Subtração -3 fora → baixo 3.
  • Use 3 a 5 pontos bem escolhidos do gráfico de f e aplique a fórmula (a,\;f(a))\mapsto(a+2,\;f(a)-3). Depois desenhe a curva passando por esses pontos. Você consegue!

Resposta

O gráfico de g_{3} é o gráfico de f deslocado 2 unidades para a direita e 3 unidades para baixo.

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