Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{3}(x)=f(x+2)+3;

Passo 1

O que o enunciado pede: representar geometricamente a função g_{3}(x)=f(x+2)+3 a partir do gráfico de f.
Informações dadas: a função g_{3} está definida em termos de f pela fórmula g_{3}(x)=f(x+2)+3. Não há outros dados numéricos nem figura enviada — só essa expressão algébrica.

Passo 2

Entendimento básico (sem ainda deslocar nada): a expressão f(x+2) indica que, na nova função, a entrada para f é x+2 em vez de x. Já o +3 fora de f(\cdot) indica que, depois de avaliar f, soma-se 3 ao valor. Vou transformar isso em uma regra geométrica precisa e fácil de aplicar no gráfico.

Passo 3

Regra de mudança de coordenadas (prova curta e didática). Seja (a,f(a)) um ponto qualquer do gráfico de f. Quero encontrar o ponto correspondente no gráfico de g_{3}. Tomo x=a-2. Então:
g_{3}(a-2)=f\big((a-2)+2\big)+3=f(a)+3.
Portanto o ponto (a-2,\,f(a)+3) pertence ao gráfico de g_{3}. Em termos de mapeamento de pontos:
(a,\,f(a)) \longmapsto (a-2,\,f(a)+3).

Passo 4

Interpretação geométrica direta e simples: cada ponto do gráfico de f é movido
  • 2 unidades para a esquerda (porque o novo ponto tem abscissa a-2), e
  • 3 unidades para cima (porque a ordenada passa de f(a) para f(a)+3).
Explicação intuitiva do sinal: dentro de f(\cdot) aparece x+2. Somar algo à variável x antes de aplicar f faz o gráfico deslocar-se para a esquerda; já somar fora de f (o +3) eleva tudo para cima. Pode parecer contraintuitivo no começo, mas a forma algébrica acima mostra por que é assim.

Passo 5

Como aplicar isso passo a passo ao desenhar (modo prático para prova):
  1. Pegue o gráfico de f.
  2. Desloque todo o gráfico rigidamente 2 unidades para a esquerda.
  3. Em seguida (ou antes, dá no mesmo), desloque todo o gráfico 3 unidades para cima.
  4. O resultado é o gráfico de g_{3}.
Observações úteis na prova:
  • O domínio de g_{3} é o domínio de f deslocado 2 unidades para a esquerda (se a \,x\mapsto x+2 estiver bem definida).
  • A imagem (range) de g_{3} é a imagem de f deslocada 3 unidades para cima.
  • Qualquer ponto notável (máximo, mínimo, interceptos em y, etc.) tem sua abscissa reduzida em 2 e sua ordenada aumentada em 3.

Resposta

O gráfico de g_{3}(x)=f(x+2)+3 é o gráfico de f transladado 2 unidades para a esquerda e 3 unidades para cima. \;(x,y)\mapsto(x-2,y+3)

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