Em cada problema, esboce o gráfico de f(y), determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um deles como assintoticamente estável ou instável. Faça um esboço qualitativo da solução.
y^{\prime}=-k(y-1)^{2}, \quad k>0,-\infty<y_{o}<\infty

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' = -k(y-1)^2,\qquad k>0,\; -\infty<y_0<\infty,
e pede:
  • Esboçar qualitativamente o gráfico da função do lado direito f(y)=-k(y-1)^2.
  • Determinar os pontos críticos (equilíbrios), isto é, valores de y tais que f(y)=0.
  • Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
  • Fazer um esboço qualitativo das soluções (comportamento de y(t) conforme a condição inicial y(0)=y_0).
As informações relevantes fornecidas:
  • A função do lado direito é f(y)=-k(y-1)^2.
  • A constante k é positiva ( k>0).
  • A condição inicial y_0 é qualquer número real.

Passo 2

O que é um ponto de equilíbrio (ponto crítico): é um valor y^* tal que, se y(t)=y^* para algum instante, então y'(t)=0 e a solução permanece em y^* para todo tempo. Em termos da ODE, equilibria são as raízes de f(y), isto é soluções de
f(y)=0.
Aplicando isso ao nosso f:
f(y) = -k(y-1)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y-1)^2=0.
Logo há um único ponto de equilíbrio:
y^* = 1.

Passo 3

Vamos esboçar e compreender o sinal de f(y). Observe que (y-1)^2\ge 0 para todo y e é zero somente em y=1. Como k>0,
f(y) = -k(y-1)^2 \le 0 \quad\text{para todo } y,
com igualdade apenas em y=1.
Interpretação qualitativa: para todo y\neq 1 temos y'<0. Em uma linha de fase (eixo y), isso significa que as setas apontam para a esquerda em todos os pontos exceto em y=1 onde a velocidade é zero.

Passo 4

Tentar a linearização clássica (ver por que é inconclusiva aqui). A linearização usa f'(y^*): se f'(y^*)<0 então o equilíbrio é assintoticamente estável; se f'(y^*)>0 é instável. Calcule:
f'(y) = \frac{d}{dy}\big[-k(y-1)^2\big] = -2k(y-1).
Em y^*=1:
f'(1) = -2k(1-1)=0.
Como f'(1)=0, o teste linear (via autovalor) é inconclusivo: não podemos decidir estabilidade apenas pela linearização. Por isso precisamos de análise não-linear ou da solução explícita.

Passo 5

Resolver a equação explicitamente (variáveis separáveis). A equação é separável:
\frac{dy}{dt} = -k(y-1)^2.
Separe variáveis e integre:
\frac{dy}{(y-1)^2} = -k\,dt.
Integrando ambos os lados (integração padrão de potência):
\int \frac{dy}{(y-1)^2} = \int -k\,dt.
A primitiva do lado esquerdo é -\dfrac{1}{y-1}. Portanto
-\frac{1}{y-1} = -kt + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por -1 e reorganizando:
\frac{1}{y-1} = kt + C',
onde C' = -C. Invertendo:
y(t) = 1 + \frac{1}{kt + C'}.
A constante C' é determinada pela condição inicial y(0)=y_0:
y_0 = 1 + \frac{1}{C'} \quad\Longrightarrow\quad C' = \frac{1}{y_0-1}.
Assim, a solução explícita com y(0)=y_0 é
\boxed{\,y(t)=1+\frac{1}{kt+\dfrac{1}{y_0-1}}\,.}

Passo 6

Analisar a solução explícita caso a caso.
Caso A: y_0=1.
  • Aqui C'=\dfrac{1}{y_0-1} é indefinido, mas a equação original mostra que se y(0)=1 então y'(0)=0 e y(t)\equiv 1 é solução constante. Portanto y(t)=1 para todo t.
Caso B: y_0>1.
  • Então y_0-1>0 e C'=\dfrac{1}{y_0-1}>0.
  • O denominador kt + C' é sempre positivo e cresce sem limite quando t\to\infty.
  • Portanto \dfrac{1}{kt + C'}\to 0 quando t\to\infty, logo
\lim_{t\to\infty} y(t)=1.
  • Além disso, y'(t)=-k(y-1)^2<0, então y(t) é estritamente decrescente. Conclusão: para y_0>1, a solução decresce monotonamente e tende assintoticamente a 1 quando t\to\infty. Ou seja, y=1 atrai soluções vindas da direita.
Caso C: y_0<1.
  • Aqui y_0-1<0 e C'=\dfrac{1}{y_0-1}<0.
  • O termo kt+C' começa negativo (em t=0 vale C'<0) e aumenta linearmente com t. Há um tempo finito t^* onde o denominador zera:
kt^* + C' = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^* = -\frac{C'}{k} = -\frac{1}{k(y_0-1)} = \frac{1}{k(1-y_0)} >0.
  • À medida que t\to t^{* -} o denominador tende a zero pelo lado negativo, então \dfrac{1}{kt+C'}\to -\infty e
y(t) = 1 + \frac{1}{kt+C'} \to -\infty \quad\text{quando } t\to t^{* -}.
  • Ou seja, para y_0<1 a solução decresce e diverge para -\infty em tempo finito (há um “blow-up” no sentido de tornar-se não definida ao atingir -\infty). Depois desse tempo a solução não está definida (a integral produziu singularidade). Portanto y=1 não atrai soluções vindas da esquerda; pelo contrário, pequenos deslocamentos para valores menores que 1 levam a uma saída da vizinhança e a um afastamento arbitrário (tendendo a -\infty em tempo finito).

Passo 7

Interpretação final e classificação do equilíbrio y^*=1.
  • Observação importante: assintoticamente estável significa que soluções suficientemente próximas (dos dois lados) convergem para o equilíbrio quando t\to\infty. Aqui isso não ocorre para pontos à esquerda de 1 (caso y_0<1 as soluções vão para -\infty em tempo finito). Portanto y=1 não é assintoticamente estável no sentido usual (não atrai todas as pequenas perturbações).
  • Contudo, y=1 atrai todas as perturbações que venham da direita ( y_0>1): essas soluções convergem monotonicamente para 1 quando t\to\infty.
  • Assim, a terminologia adequada é dizer que y=1 é instável (não é assintoticamente estável), mas é atraente unilateralmente pela direita — frequentemente chamada de ponto de equilíbrio semiestável ou estável pela direita e instável pela esquerda.
Física/intuição simples: a velocidade y' é sempre não-positiva. Para y>1 a solução desliza para baixo e vai se aproximando cada vez mais devagar de 1. Para y<1 a velocidade também aponta para a esquerda, então a solução sai da região próxima a 1 e atinge -\infty rapidamente — por isso não há atração a partir da esquerda.

Passo 8

Esboço qualitativo das soluções (instruções para desenhar):
  • Linha de fase (eixo y): coloque um ponto em y=1 e marque setas apontando para a esquerda em todo y\neq 1. À direita de 1 as setas apontam para 1 (trajetórias aproximam 1 quando t aumenta). À esquerda de 1 as setas apontam para a esquerda e afastam-se de 1.
  • Gráfico y(t):
    • Para y_0>1: curva decrescente que se aproxima assintoticamente de y=1 quando t\to\infty.
    • Para y_0=1: linha horizontal em y=1.
    • Para y_0<1: curva decrescente que diverge para -\infty em tempo finito t^*=\dfrac{1}{k(1-y_0)}.
Um comentário de ânimo: apesar de o teste linear falhar ( f'(1)=0), a equação separável permite resolver explicitamente e entender perfeitamente a dinâmica — técnica útil na prova!

Resposta

Equilíbrio: y^*=1.
Classificação: y=1 não é assintoticamente estável (é instável no sentido usual); é semiestável/atraente pela direita e repulsivo pela esquerda.
Comportamento das soluções: para y_0>1 tem y(t)\downarrow 1 e \lim_{t\to\infty}y(t)=1; para y_0=1 tem y(t)\equiv 1; para y_0<1 tem y(t)\to -\infty em tempo finito t^*=\dfrac{1}{k(1-y_0)}.

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