Em cada problema, esboce o gráfico de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um deles como assintoticamente estável ou instável. Faça um esboço qualitativo da solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede:
- Esboçar qualitativamente o gráfico da função do lado direito
. - Determinar os pontos críticos (equilíbrios), isto é, valores de
tais que . - Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
- Fazer um esboço qualitativo das soluções (comportamento de
conforme a condição inicial ).
As informações relevantes fornecidas:
- A função do lado direito é
. - A constante
é positiva ( ). - A condição inicial
é qualquer número real.
Passo 2
O que é um ponto de equilíbrio (ponto crítico): é um valor
tal que, se
para algum instante, então
e a solução permanece em
para todo tempo. Em termos da ODE, equilibria são as raízes de
, isto é soluções de
Aplicando isso ao nosso
:
Logo há um único ponto de equilíbrio:
Passo 3
Vamos esboçar e compreender o sinal de
. Observe que
para todo
e é zero somente em
. Como
,
com igualdade apenas em
.
Interpretação qualitativa: para todo
temos
. Em uma linha de fase (eixo
), isso significa que as setas apontam para a esquerda em todos os pontos exceto em
onde a velocidade é zero.
Passo 4
Tentar a linearização clássica (ver por que é inconclusiva aqui). A linearização usa
: se
então o equilíbrio é assintoticamente estável; se
é instável. Calcule:
Em
:
Como
, o teste linear (via autovalor) é inconclusivo: não podemos decidir estabilidade apenas pela linearização. Por isso precisamos de análise não-linear ou da solução explícita.
Passo 5
Resolver a equação explicitamente (variáveis separáveis). A equação é separável:
Separe variáveis e integre:
Integrando ambos os lados (integração padrão de potência):
A primitiva do lado esquerdo é
. Portanto
onde
é constante de integração. Multiplicando por
e reorganizando:
onde
. Invertendo:
A constante
é determinada pela condição inicial
:
Assim, a solução explícita com
é
Passo 6
Analisar a solução explícita caso a caso.
Caso A:
.
- Aqui
é indefinido, mas a equação original mostra que se então e é solução constante. Portanto para todo .
Caso B:
.
- Então
e . - O denominador
é sempre positivo e cresce sem limite quando . - Portanto
quando , logo
- Além disso,
, então é estritamente decrescente. Conclusão: para , a solução decresce monotonamente e tende assintoticamente a quando . Ou seja, atrai soluções vindas da direita.
Caso C:
.
- Aqui
e . - O termo
começa negativo (em vale ) e aumenta linearmente com . Há um tempo finito onde o denominador zera:
- À medida que
o denominador tende a zero pelo lado negativo, então e
- Ou seja, para
a solução decresce e diverge para em tempo finito (há um “blow-up” no sentido de tornar-se não definida ao atingir ). Depois desse tempo a solução não está definida (a integral produziu singularidade). Portanto não atrai soluções vindas da esquerda; pelo contrário, pequenos deslocamentos para valores menores que 1 levam a uma saída da vizinhança e a um afastamento arbitrário (tendendo a em tempo finito).
Passo 7
Interpretação final e classificação do equilíbrio
.
- Observação importante: assintoticamente estável significa que soluções suficientemente próximas (dos dois lados) convergem para o equilíbrio quando
. Aqui isso não ocorre para pontos à esquerda de (caso as soluções vão para em tempo finito). Portanto não é assintoticamente estável no sentido usual (não atrai todas as pequenas perturbações). - Contudo,
atrai todas as perturbações que venham da direita ( ): essas soluções convergem monotonicamente para quando . - Assim, a terminologia adequada é dizer que
é instável (não é assintoticamente estável), mas é atraente unilateralmente pela direita — frequentemente chamada de ponto de equilíbrio semiestável ou estável pela direita e instável pela esquerda.
Física/intuição simples: a velocidade
é sempre não-positiva. Para
a solução desliza para baixo e vai se aproximando cada vez mais devagar de
. Para
a velocidade também aponta para a esquerda, então a solução sai da região próxima a
e atinge
rapidamente — por isso não há atração a partir da esquerda.
Passo 8
Esboço qualitativo das soluções (instruções para desenhar):
- Linha de fase (eixo
): coloque um ponto em e marque setas apontando para a esquerda em todo . À direita de as setas apontam para (trajetórias aproximam quando aumenta). À esquerda de as setas apontam para a esquerda e afastam-se de . - Gráfico
: - Para
: curva decrescente que se aproxima assintoticamente de quando . - Para
: linha horizontal em . - Para
: curva decrescente que diverge para em tempo finito .
- Para
Um comentário de ânimo: apesar de o teste linear falhar (
), a equação separável permite resolver explicitamente e entender perfeitamente a dinâmica — técnica útil na prova!
Resposta
Equilíbrio:
.
Classificação: não é assintoticamente estável (é instável no sentido usual); é semiestável/atraente pela direita e repulsivo pela esquerda.
Comportamento das soluções: para tem
e
; para
tem
; para
tem
em tempo finito
.
Classificação:
Comportamento das soluções: para