Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
[2 y-1x+cos (3 x)] d y+(yx^2-4 x^3+3 y sen(3 x)) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
l[2y - tfrac1x + cos(3x)r],dy ;+;l(tfracyx^2 -4x^3 +3ysin(3x)r),dx = 0
e pede para verificarmos se ela é exata. Para aplicar o critério de exatidão, reescrevemos no formato
M(x,y),dx ;+;N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y)=yx^2 -4x^3 +3ysin(3x), N(x,y)=2y - 1x + cos(3x)

Passo 2

Aplicamos o critério de exatidão, que exige
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x
Calculemos cada derivada:
partial Mpartial y =partialpartial y!l(yx^2 -4x^3 +3ysin(3x)r) =1x^2 +3sin(3x),
partial Npartial x =partialpartial x!l(2y - 1x + cos(3x)r) =1x^2 -3sin(3x)

Passo 3

Como
partial Mpartial y =1x^2 +3sin(3x) e partial Npartial x =1x^2 -3sin(3x),
vemos que não são iguais. Logo, a EDO não é exata.

Resposta

A equação não é exata, portanto não pode ser resolvida diretamente pelo método das equações exatas sem um fator integrante.

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