Calcular:
lim x +infty(1-1x)^x=

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
limxto+infty(1-1x)^x,
que é uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar a técnica de logaritmo natural e a função exponencial.

Passo 2

Definimos
y = (1-1x)^x
e calculamos o logaritmo de y:
ln y = x ln!l(1-tfrac1xr)

Passo 3

Precisamos então determinar o limite
limxto+infty ln y = limxto+infty x ln!l(1-tfrac1xr)

Passo 4

Para uto0 vale o desenvolvimento
ln(1+u)=u-tfracu^22+o(u^2)
Aqui tomamos u=-tfrac1x, logo
ln!l(1-tfrac1xr) =-tfrac1x-tfrac12x^2+ol(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x
xln!l(1-tfrac1xr) =-1-tfrac12x+ol(tfrac1xr) ;xrightarrow[xto+infty];-1

Passo 5

Como limxto+inftyln y=-1, voltamos à função original com exponencial:
limxto+inftyy =exp!l(limxto+inftyln yr) =e^-1

Resposta

1e

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