Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
(sen(x)-y sen(x)) d x-(cos (x)+x cos (y)-y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO
(sin(x)-ysin(x)),dx - l(cos(x)+xcos(y)-yr),dy = 0
é exata. Uma equação da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
é exata se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x
Aqui podemos identificar
M(x,y)=sin(x)-ysin(x), N(x,y)=-l(cos(x)+xcos(y)-yr)

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl[sin(x)-ysin(x)r] =-sin(x),
partial Npartial x =partialpartial xl[-cos(x)-xcos(y)+yr] =sin(x)-cos(y)

Passo 3

Como
partial Mpartial y = -sin(x) e partial Npartial x = sin(x)-cos(y),
temos -sin(x)neq sin(x)-cos(y). Logo a condição de exatidão não vale.

Resposta

A equação diferencial não é exata; portanto não podemos resolvê-la diretamente pelo método de EDOs exatas sem antes encontrar um fator integrante.

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