Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
(2 y sen(x) cos (x)-y+2 y^2 e^x y^2) d x-(x-sen^2(x)-4 x y e^x y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(2ysin xcos x - y + 2y^2 e^x y^2r),dx ;-;l(x - sin^2 x - 4xy e^x y^2r),dy = 0
e pede para verificar se é exata. Se for, devemos encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M(x,y), psiy = N(x,y),
onde
M(x,y)=2ysin xcos x - y + 2y^2 e^x y^2, N(x,y)=-l(x - sin^2 x - 4xy e^x y^2r)

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
partial Mpartial y =2sin xcos x -1 +4y e^x y^2 +4x y^3 e^x y^2,
partial Npartial x =partialpartial xl(-x + sin^2 x +4xy e^x y^2r) =-1 +2sin xcos x +4y e^x y^2 +4x y^3 e^x y^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construímos a função potencial psi(x,y) integrando M em relação a x:
psi(x,y) =integrall(2ysin xcos x - y + 2y^2 e^x y^2r),dx =ysin^2 x -xy +2e^x y^2 + h(y)
Agora exigimos psiy=N. Calculamos
psiy =sin^2 x -x +4xy e^x y^2+h'(y)
e igualamos a
,-x+sin^2 x+4xy e^x y^2. Daí h'(y)=0, logo h é constante.

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
ysin^2 x - x y + 2e^x y^2 = C,
onde C é constante.

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