A equação de demanda para uma certa mercadoria é dada por:
onde unidades são demandadas ao dia quando é o preço da unidade no dia. Encontre a taxa de variação da demanda em relação ao tempo quando o preço é 1,50 á$0,05$ ao dia.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre demanda x e preço p:
p,x^3+5,p=18
Queremos a taxa de variação dfracdxdt quando p=1,50 e dfracdpdt=0,05. O conteúdo usado será derivadas implícitas e taxas relacionadas.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
p,x^3+5,p=18
em relação a t, usando regra do produto e cadeia, obtemos
ddtl(p,x^3r)+ddtl(5pr)=0
underbracedpdt,x^3substackderivada de pcdot x^3tratando x como função de t+underbracepcdot3x^2dxdtsubstackderivada de x^3+5dpdt=0 çã

Passo 3

Agrupando termos com dxdt e isolando, temos
l(x^3+5r)dpdt+3p,x^2dxdt=0 Longrightarrow dxdt =-l(x^3+5r),dfracdpdt3,p,x^2

Passo 4

Para avaliar em p=1,50 calculamos x resolvendo
1,50,x^3+5cdot1,50=18 Longrightarrow 1,50,x^3=10,5 Longrightarrow x^3=7 Longrightarrow x=raiz[,3]7

Passo 5

Substituindo p=1,50, dfracdpdt=0,05 e x=raiz[3]7 em
dxdt =-l(x^3+5r),dfracdpdt3,p,x^2
obtemos
dxdt =-l(7+5r)cdot0,053cdot1,50cdotl(raiz[3]7r)^2 =-0,05cdot124,5,l(raiz[3]7r)^2 =-215,7^2/3 approx-0,0364

Resposta

dxdtapprox-0,0364 unidades por dia

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