Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
(5 y-2 x) y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(5y - 2x),y' - 2y = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos tratar como uma equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Precisaremos lembrar que a equação é exata se
partial Mpartial y = partial Npartial x,
e que, nesse caso, existe uma função potencial psi(x,y) tal que psix = M e psiy = N.

Passo 2

Reescrevendo a EDO na forma diferencial, usamos y' = tfracdydx:
(5y - 2x),dydx - 2y = 0 Longrightarrow -2y,dx + (5y - 2x),dy = 0
Assim identificamos
M(x,y) = -2y, N(x,y) = 5y - 2x

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y = partialpartial y(-2y) = -2, partial Npartial x = partialpartial x(5y - 2x) = -2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos psi(x,y) tal que
psix = M = -2y
Integramos em relação a x:
psi(x,y) = integral -2y,dx = -2xy + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Em seguida, impomos
psiy = -2x + h'(y) = N = 5y - 2x
Comparando, obtemos
h'(y) = 5y Longrightarrow h(y) = 52y^2
Logo
psi(x,y) = -2xy + 52y^2

Passo 5

A solução geral implícita vem de psi(x,y) = C:
-2xy + 52y^2 = C,
com C constante arbitrária. Essa é a família de soluções da EDO.

Resposta

-2xy + 52y^2 = C

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