Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos tratar como uma equação na forma
Precisaremos lembrar que a equação é exata se
e que, nesse caso, existe uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Reescrevendo a EDO na forma diferencial, usamos
:
Assim identificamos
Passo 3
Verificamos a condição de exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Buscamos
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar. Em seguida, impomos
Comparando, obtemos
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Passo 5
A solução geral implícita vem de
:
com
constante arbitrária. Essa é a família de soluções da EDO.