Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
46. Hyperbola, vertices (-1,2),(7,2), foci (-2,2),(8,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujo eixo transverso é horizontal, com vértices em (-1,2) e (7,2) e focos em (-2,2) e (8,2). Para resolver, vamos usar a forma padrão da hipérbole horizontal centrada em (h,k):
(x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1,
onde 2a é a distância entre os vértices e 2c é a distância entre os focos, com c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Determinar o centro (h,k). Como os vértices são simétricos em relação ao centro, temos
h=-1+72=3, k=2+22=2

Passo 3

Calcular a. A distância do centro ao vértice é
a = distl((3,2),(-1,2)r)=4,
logo a^2=16.

Passo 4

Calcular c. A distância do centro a um foco é
c = distl((3,2),(-2,2)r)=5,
logo c^2=25.

Passo 5

Determinar b a partir de c^2=a^2+b^2. Temos
b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9

Passo 6

Escrever a equação na forma padrão usando h=3, k=2, a^2=16 e b^2=9:
(x-3)^216 ;-;(y-2)^29 ;=;1

Resposta

(x-3)^216-(y-2)^29=1

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