Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
45. Hyperbola, vertices (-3,-4),(-3,6), foci (-3,-7),(-3,9)

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole com vértices (-3,-4) e (-3,6) e focos (-3,-7) e (-3,9). Aqui o eixo transverso é vertical, pois vértices e focos têm mesma coordenada x. Para resolver, vamos achar o centro como ponto médio dos vértices, depois determinar a (distância do centro a cada vértice), c (distância do centro a cada foco) e usar a relação
c^2 = a^2 + b^2
onde b é o semi-eixo conjugado.

Passo 2

O centro (h,k) é o ponto médio de (-3,-4) e (-3,6):
h = -3 + (-3)2 = -3, k = -4 + 62 = 1
A distância a é a diferença em y entre o centro e um vértice, por exemplo de (-3,1) a (-3,6):
a = 6 - 1 = 5

Passo 3

A distância c é a diferença em y entre o centro e um foco, por exemplo de (-3,1) a (-3,9):
c = 9 - 1 = 8
Aplicando
c^2 = a^2 + b^2
temos
b^2 = c^2 - a^2 = 64 - 25 = 39

Passo 4

Para hipérbole com eixo vertical e centro em (h,k) usamos a forma
(y-k)^2a^2 ;-;(x-h)^2b^2 = 1
Substituindo (h,k)=(-3,1), a^2=25 e b^2=39, obtemos
(y-1)^225 ;-;(x+3)^239 = 1

Resposta

(y-1)^225 ;-;(x+3)^239 = 1

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