Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
45. Hyperbola, vertices
, foci
45. Hyperbola, vertices
Passo 1
O enunciado pede a equação da hipérbole com vértices
e
e focos
e
. Aqui o eixo transverso é vertical, pois vértices e focos têm mesma coordenada
. Para resolver, vamos achar o centro como ponto médio dos vértices, depois determinar
(distância do centro a cada vértice),
(distância do centro a cada foco) e usar a relação
onde
é o semi-eixo conjugado.
Passo 2
O centro
é o ponto médio de
e
:
A distância
é a diferença em
entre o centro e um vértice, por exemplo de
a
:
Passo 3
A distância
é a diferença em
entre o centro e um foco, por exemplo de
a
:
Aplicando
temos
Passo 4
Para hipérbole com eixo vertical e centro em
usamos a forma
Substituindo
,
e
, obtemos