Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO
e pede para verificar se ela é exata e, se for, encontrar sua solução. O conteúdo aqui é equação diferencial exata, em que podemos escrever
e testar se
Passo 2
Identificamos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como
, a EDO é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
, temos
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para achar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso mostra que
, logo
é constante.
Passo 5
A solução geral implícita vem de
que podemos reescrever como
Resposta
Sim, a EDO é exata e sua solução geral é
.