Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
2 xy d x-x^2y^2 d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
2xy,dx ;-;x^2y^2,dy ;=;0
e pede para verificar se ela é exata e, se for, encontrar sua solução. O conteúdo aqui é equação diferencial exata, em que podemos escrever M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 e testar se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2xy, N(x,y)=-x^2y^2
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(2xyr) =-2xy^2,
partial Npartial x =partialpartial xl(-x^2y^2r) =-2xy^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y) e partial Fpartial y=N(x,y)
Integrando M em relação a x, temos
F(x,y)=integral 2xy,dx =x^2y+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos F em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial Fpartial y =-x^2y^2+h'(y) stackrel!= -x^2y^2
Isso mostra que h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de
F(x,y)=x^2y+,const=C,
que podemos reescrever como
x^2y=C

Resposta

Sim, a EDO é exata e sua solução geral é x^2y=C.

Exercícios relacionados