Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
47. Hyperbola, vertices ( pm 3,0), asymptotes y= pm 2 x

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com vértices em (pm3,0) e assimptotas y=pm2x. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, em particular hipérbole com centro na origem e eixo transverso no eixo x.

Passo 2

Como os vértices estão em (pm3,0), o centro é (0,0) e o eixo transverso é o eixo x. A forma padrão dessa hipérbole é
x^2a^2-y^2b^2=1

Passo 3

Dos vértices em (pm3,0) tiramos que
a=3 Longrightarrow a^2=9

Passo 4

As assimptotas dessa hipérbole são
y=pmba,x
Como nos dão y=pm2x, temos ba=2. Logo
b=2a=2cdot3=6 Longrightarrow b^2=36

Passo 5

Substituindo a^2=9 e b^2=36 na forma padrão, obtemos
x^29-y^236=1

Resposta

x^29-y^236=1

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