Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
(2 x-y) d x-(x+6) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO
(2 x - y),dx - (x + 6),dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, resolver a equação. Para isso, vamos usar o conceito de diferencial exata, conferindo se partial M/partial y = partial N/partial x e, sendo exata, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que dPhi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x - y, N(x,y) = -(x + 6)
Calculamos
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = -1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial Phi(x,y), integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (2x - y),dx = x^2 - xy + h(y),
onde h(y) é uma função só de y.

Passo 4

Derivamos Phi em relação a y:
partial Phipartial y = -x + h'(y)
e igualamos a N(x,y):
-x + h'(y) = -(x + 6)
Logo, h'(y) = -6 e h(y) = -6y. Portanto
Phi(x,y) = x^2 - xy - 6y,
e a solução geral implícita é Phi(x,y)=C.

Resposta

x^2 - xy - 6y = C

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