Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
48. Hyperbola, foci
, asymptotes
and
48. Hyperbola, foci
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos focos são
e
e cujas assíntotas são
O conteúdo é geometria analítica de cônicas; vamos usar a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso vertical, relacionar focos e assíntotas para encontrar
,
e
, e então escrever a equação.
Passo 2
Como os focos estão alinhados verticalmente em
e
, o centro
é o ponto médio:
Para uma hipérbole de eixo vertical tomamos a forma
Passo 3
A distância do centro a cada foco é
. Como os focos são
e valem
,
, temos
Em hipérboles verticais vale
Passo 4
As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por
Comparando com as dadas,
vemos que
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
Passo 6
Basta agora escrever a equação padrão com
,
,
e
: