Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
48. Hyperbola, foci (2,0),(2,8), asymptotes y=3+12 x and y=5-12 x

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos focos são (2,0) e (2,8) e cujas assíntotas são
y = 3 + 12x e y = 5 - 12x
O conteúdo é geometria analítica de cônicas; vamos usar a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso vertical, relacionar focos e assíntotas para encontrar a, b e c, e então escrever a equação.

Passo 2

Como os focos estão alinhados verticalmente em (2,0) e (2,8), o centro (h,k) é o ponto médio:
(h,k) = l(tfrac2+22,,tfrac0+82r) = (2,4)
Para uma hipérbole de eixo vertical tomamos a forma
(y-k)^2a^2 ;-;(x-h)^2b^2 ;=;1

Passo 3

A distância do centro a cada foco é c. Como os focos são (2,4pm c) e valem (2,0), (2,8), temos
c = 4, ou seja c^2 = 16
Em hipérboles verticais vale
c^2 = a^2 + b^2

Passo 4

As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por
y - k = pm ab,(x - h)
Comparando com as dadas,
y - 4 = +tfrac12,(x-2) e y - 4 = -tfrac12,(x-2),
vemos que
ab = 12 Longrightarrow b = 2a

Passo 5

Substituindo b=2a em c^2 = a^2 + b^2, obtemos
16 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 Longrightarrow a^2 = 165, b^2 = 4a^2 = 645

Passo 6

Basta agora escrever a equação padrão com h=2, k=4, a^2=16/5 e b^2=64/5:
(y-4)^2tfrac165 ;-; (x-2)^2tfrac645 ;=;1

Resposta

(y-4)^2tfrac165 ;-; (x-2)^2tfrac645 =1

Exercícios relacionados