Resolva as equações.
(d)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = y^2 - 2xyx^2,
que é homogênea de grau zero em x,y. Para resolver, usamos a substituição
y = x,v(x),
de modo que a razão do lado direito depende apenas de v=y/x.

Passo 2

Com y = x v temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo em
v + xdvdx = (xv)^2 - 2x,(xv)x^2 = v^2 - 2v,
obtemos
xdvdx = v^2 - 3v

Passo 3

A equação torna-se separável:
dvv(v - 3) = dxx
Para integrar, decompomos em frações parciais:
1v(v - 3) = -13,1v + 13,1v - 3

Passo 4

Integramos ambos os lados:
-tfrac13ln|v| + tfrac13ln|v-3| = ln|x| + C1
ou seja
lnl|v-3vr| = ln|x^3| + C2 Longrightarrow v-3v = C,x^3
Como v = y/x, isso equivale a
y - 3xy = C,x^3

Passo 5

Isolando y na última igualdade:
y,(1 - Cx^3) = 3x Longrightarrow y = 3x1 - Cx^3,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Resposta

y = 3x1 - Cx^3

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