Quando uma EDO de ordem n pode ser escrita como
an(x) y^(n)+ldots+a1(x) y^prime+a0(x) y=f(x),
dizemos que ela é uma EDO linear. Mostre que:
se g(x) resolve (1) com f=0, então k g(x) também resolve (1).

Passo 1

O enunciado define uma EDO linear de ordem n da forma
an(x),y^(n) + dots + a1(x),y' + a0(x),y = f(x)
Quando f=0, chamamos de EDO homogênea. A tarefa é mostrar que, se g(x) resolve a equação homogênea
an(x),g^(n) + dots + a1(x),g' + a0(x),g = 0,
então, para toda constante k, a função k,g(x) também resolve a mesma EDO.

Passo 2

Lembre que a derivada de uma função multiplicada por constante obedece
(k,g)^(i) = k,g^(i),
para todo i=0,1,dots,n (com g^(0)=g). Vamos usar isso ao aplicar o operador linear.

Passo 3

Definindo o operador linear
L[y] = an(x),y^(n) + dots + a1(x),y' + a0(x),y,
temos
L[k,g] = an(x),(k,g)^(n) + dots + a1(x),(k,g)' + a0(x),(k,g) = kl(an(x),g^(n) + dots + a1(x),g' + a0(x),gr)

Passo 4

Como g(x) resolve a EDO homogênea, o termo entre parênteses é zero. Logo
L[k,g] = k cdot 0 = 0,
o que mostra que k,g(x) também é solução da EDO homogênea.

Resposta

Portanto, se g(x) resolve a EDO homogênea ( f=0), então k,g(x) também a resolve.

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