Quando uma EDO de ordem
pode ser escrita como
dizemos que ela é uma EDO linear. Mostre que:
se
resolve (1) com
, então
também resolve (1).
se
Passo 1
O enunciado define uma EDO linear de ordem
da forma
Quando
, chamamos de EDO homogênea. A tarefa é mostrar que, se
resolve a equação homogênea
então, para toda constante
, a função
também resolve a mesma EDO.
Passo 2
Lembre que a derivada de uma função multiplicada por constante obedece
para todo
(com
). Vamos usar isso ao aplicar o operador linear.
Passo 3
Definindo o operador linear
temos
Passo 4
Como
resolve a EDO homogênea, o termo entre parênteses é zero. Logo
o que mostra que
também é solução da EDO homogênea.
Resposta
Portanto, se
resolve a EDO homogênea (
), então
também a resolve.