Seja z=f(e^-u, e^u) onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse d zd u em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado define
z = fl(e^-u,,e^ur),
sendo f(x,y) diferenciável. Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis, que relaciona tfracdzdu às derivadas parciais de f e às derivadas das funções internas x(u)=e^-u e y(u)=e^u.

Passo 2

Definimos as funções internas
x(u) = e^-u, y(u) = e^u

Passo 3

Pela regra da cadeia para uma composição z = fl(x(u),y(u)r), temos
dzdu = partial fpartial xl(x(u),y(u)r),dxdu + partial fpartial yl(x(u),y(u)r),dydu

Passo 4

Calculamos as derivadas das funções internas:
dxdu = ddue^-u = -e^-u, dydu = ddue^u = e^u

Passo 5

Substituindo tfracdxdu e tfracdydu na expressão de tfracdzdu e avaliando em x=e^-u,y=e^u, obtemos
dzdu = partial fpartial xl(e^-u,e^ur),(-e^-u) + partial fpartial yl(e^-u,e^ur),(e^u)

Resposta

dzdu = -,e^-u,partial fpartial xl(e^-u,e^ur) + e^u,partial fpartial yl(e^-u,e^ur)

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