Em cada um dos ítens abaixo, verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.
Passo 1
Temos a forma diferencial ω= e{(x2+y^2)} x
dx + e{(x2+y^2)} y
dy. O conteúdo aqui é de formas diferenciais exatas e vamos usar o teste que diz que ω é exata se ∂M/∂y=∂N/∂x, onde M(x,y)=e{(x2+y^2)} x e N(x,y)=e{(x2+y^2)} y.
dx + e{(x2+y^2)} y
dy. O conteúdo aqui é de formas diferenciais exatas e vamos usar o teste que diz que ω é exata se ∂M/∂y=∂N/∂x, onde M(x,y)=e{(x2+y^2)} x e N(x,y)=e{(x2+y^2)} y.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para M(x,y)=e{(x2+y^2)} x, temos
Para M(x,y)=e{(x2+y^2)} x, temos
Para N(x,y)=e{(x2+y^2)} y, temos
Passo 3
Como
, concluímos que ω é exata.
Resposta
A forma diferencial é exata, pois satisfaz
.