Em cada um dos ítens abaixo, verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.
e^(x^2+y^2) x d x+e^(x^2+y^2) y d y

Passo 1

Temos a forma diferencial ω= e{(x2+y^2)} x
dx + e{(x2+y^2)} y
dy. O conteúdo aqui é de formas diferenciais exatas e vamos usar o teste que diz que ω é exata se ∂M/∂y=∂N/∂x, onde M(x,y)=e{(x2+y^2)} x e N(x,y)=e{(x2+y^2)} y.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais:
Para M(x,y)=e{(x2+y^2)} x, temos
partial Mpartial y=xcdot e^(x^2+y^2)cdot2y=2xy,e^(x^2+y^2)
Para N(x,y)=e{(x2+y^2)} y, temos
partial Npartial x=ycdot e^(x^2+y^2)cdot2x=2xy,e^(x^2+y^2)

Passo 3

Como partial Mpartial y=2xy,e^(x^2+y^2)=partial Npartial x, concluímos que ω é exata.

Resposta

A forma diferencial é exata, pois satisfaz partial M/partial y=partial N/partial x.

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