Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial contínuo
em
, as integrais de linha ao longo de
e de
são iguais. O conteúdo é mudança de parâmetro em integral de linha de campos vetoriais.
Passo 2
Reconhecemos que
é simplesmente uma reparametrização de
via a função
. De fato, temos
Pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
Passo 3
Agora escrevemos a integral sobre
e fazemos a mudança de variável:
Passo 4
Fazendo a troca de variável
(então
, e quando
vai de 0 a
,
vai de 0 a
), obtemos:
Passo 5
Como a integral de linha de um campo vetorial é invariante sob reparametrizações que preservam a orientação, concluímos que as duas integrais são iguais.
Resposta
As integrais são iguais porque
é uma reparametrização de
por
, e a integral de linha é invariante sob mudanças de parâmetro que mantêm a orientação, levando a