Seja F um campo vetorial contínuo em R^2. Justifique as igualdades.
integralgamma1 F cdot d gamma1=integralgamma2 F cdot d gamma2 , onde gamma1(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= 2 pi , e gamma2(u)=(cos 2 u, sen 2 u), 0 <= u <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial contínuo vec F em R^2, as integrais de linha ao longo de gamma1(t)=(cos t,sin t),;0<= t<=2pi e de gamma2(u)=(cos2u,sin2u),;0<= u<=pi são iguais. O conteúdo é mudança de parâmetro em integral de linha de campos vetoriais.

Passo 2

Reconhecemos que gamma2 é simplesmente uma reparametrização de gamma1 via a função phi(u)=2u. De fato, temos
gamma2(u)=l(cos2u,sin2ur)=gamma1l(phi(u)r)=gamma1(2u)
Pela regra da cadeia, a derivada de gamma2(u) em relação a u é
gamma2'(u)=phi'(u),gamma1'l(phi(u)r)=2,gamma1'(2u)

Passo 3

Agora escrevemos a integral sobre gamma2 e fazemos a mudança de variável:
integralgamma2vec Fcdot dgamma2 =integral0^pivec Fl(gamma2(u)r)cdotgamma2'(u),du =integral0^pivec Fl(gamma1(2u)r)cdotl(2,gamma1'(2u)r),du

Passo 4

Fazendo a troca de variável t=2u (então dt=2,du, e quando u vai de 0 a pi, t vai de 0 a 2pi), obtemos:
integral0^pivec F(gamma1(2u))cdot2,gamma1'(2u),du =integral0^2pivec F(gamma1(t))cdotgamma1'(t),dt =integralgamma1vec Fcdot dgamma1

Passo 5

Como a integral de linha de um campo vetorial é invariante sob reparametrizações que preservam a orientação, concluímos que as duas integrais são iguais.

Resposta

As integrais são iguais porque gamma2 é uma reparametrização de gamma1 por phi(u)=2u, e a integral de linha é invariante sob mudanças de parâmetro que mantêm a orientação, levando a
integralgamma1vec Fcdot dgamma1 =integralgamma2vec Fcdot dgamma2

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