Calcule as integrais abaixo:
(e) integral sen 5 x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin 5x,sin x,dx. O conteúdo envolvido é o uso de identidades trigonométricas (produto para soma) e depois integrais básicas de cosseno. Vamos precisar da identidade
sin A,sin B = tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
e da primitivação de cos(kx).

Passo 2

Primeiro aplicamos a identidade produto-para-soma:
sin 5x,sin x = tfrac12l[cos(5x - x)-cos(5x + x)r] = tfrac12l[cos 4x - cos 6xr]
Assim a integral vira
integral sin 5x,sin x,dx = tfrac12integral cos 4x,dx - tfrac12integral cos 6x,dx

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente. Sabemos que
integral cos 4x,dx = tfrac14sin 4x,
integral cos 6x,dx = tfrac16sin 6x
Substituindo na expressão:

Passo 4

Juntando tudo, obtemos
integral sin 5x,sin x,dx = tfrac12l(tfrac14sin 4xr) - tfrac12l(tfrac16sin 6xr) + C = tfrac18sin 4x - tfrac112sin 6x + C

Passo 5

Portanto a primitiva é uma combinação linear de sin 4x e sin 6x obtida após aplicar a identidade e integrar cada termo.

Resposta

integral sin 5x,sin x,dx = tfrac18sin 4x - tfrac112sin 6x + C.

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