Nos itens abaixo admita que a in R, com a>0, n in N, e verifique as seguintes identidades:
(a) L(t^n)=n!s^n+1, com s>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a transformada de Laplace da função t^n, isto é, mostrar que Lt^n(s)=n!s^n+1 para ninN e s>0. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a relação com a função Gama.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de t^n é dada por
Lt^n(s)=integral0^inftye^-s t,t^n,dt
Essa integral lembra a integral definidora da função Gama.

Passo 3

Para avaliar o integral, fazemos a mudança de variável u=s t. Então t=us e dt=dus. Substituindo, vem
integral0^inftye^-s t,t^n,dt=integral0^inftye^-u(us)^ndus =1s^n+1integral0^inftye^-u,u^n,du

Passo 4

Por definição da função Gama, temos Gamma(n+1)=integral0^inftye^-uu^n,du e sabe-se que Gamma(n+1)=n! para inteiro n. Logo,
Lt^n(s)=1s^n+1,Gamma(n+1)=n!s^n+1,
que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

Lt^n(s)=n!s^n+1

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