Nos itens abaixo admita que
, e verifique as seguintes identidades:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a transformada de Laplace da função
, isto é, mostrar que
para
e
. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a relação com a função Gama.
Passo 2
Pela definição, a transformada de Laplace de
é dada por
Essa integral lembra a integral definidora da função Gama.
Passo 3
Para avaliar o integral, fazemos a mudança de variável
. Então
e
. Substituindo, vem
Passo 4
Por definição da função Gama, temos
e sabe-se que
para inteiro
. Logo,
que é exatamente o que queríamos mostrar.